Para cada uma das funções calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
Informações dadas:
é o numerador e
é o denominador.
A tarefa é obter a derivada de em função de
.
A tarefa é obter a derivada de
Passo 2
Escolha do método e revisão rápida das regras que vamos usar (aqui é tipo o “mapa” do que faremos). Para derivar uma razão de duas funções usamos a regra do quociente: se
, então
Explicando cada parte:
é a função do numerador,
é a função do denominador;
e
são as derivadas delas; o numerador da regra combina
e
e subtrai
vezes
; e o denominador é
ao quadrado.
Também vamos usar as derivadas básicas: e
. (Guarda essas fórmulas — são super usadas em prova.)
Também vamos usar as derivadas básicas:
Passo 3
Identificamos as funções
e
e calculamos suas derivadas:
já que derivando
vem
e derivando
vem
.
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente: o numerador geral é
. Substituindo:
Agora expandimos termo a termo:
Somando os dois resultados obtemos
Passo 5
Agrupamos os termos em
e em
para facilitar a simplificação:
Fatorando
no primeiro grupo e
no segundo:
Reescrevendo os polinômios como quadrados perfeitos:
Portanto o numerador simplificado fica
O denominador da regra do quociente é
.