Para cada uma das funções calcule f^{\prime}(x)
f(x)=\frac{x^{2}+1}{\sin x+\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}(x) para a função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{\sin x+\cos x}.
Informações dadas:
\;x^{2}+1 é o numerador e \sin x+\cos x é o denominador.
A tarefa é obter a derivada de f em função de x.

Passo 2

Escolha do método e revisão rápida das regras que vamos usar (aqui é tipo o “mapa” do que faremos). Para derivar uma razão de duas funções usamos a regra do quociente: se \,f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicando cada parte: u(x) é a função do numerador, v(x) é a função do denominador; u'(x) e v'(x) são as derivadas delas; o numerador da regra combina u' e v e subtrai u vezes v'; e o denominador é v ao quadrado.
Também vamos usar as derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x. (Guarda essas fórmulas — são super usadas em prova.)

Passo 3

Identificamos as funções u e v e calculamos suas derivadas:
u(x)=x^{2}+1,\qquad u'(x)=2x,
v(x)=\sin x+\cos x,\qquad v'(x)=\cos x - \sin x,
já que derivando \sin x vem \cos x e derivando \cos x vem -\sin x.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente: o numerador geral é u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x). Substituindo:
\text{numerador}=(2x)(\sin x+\cos x)-(x^{2}+1)(\cos x-\sin x).
Agora expandimos termo a termo:
(2x)(\sin x+\cos x)=2x\sin x+2x\cos x,
-(x^{2}+1)(\cos x-\sin x)=-(x^{2}+1)\cos x+(x^{2}+1)\sin x.
Somando os dois resultados obtemos
\text{numerador}=2x\sin x+2x\cos x-(x^{2}+1)\cos x+(x^{2}+1)\sin x.

Passo 5

Agrupamos os termos em \sin x e em \cos x para facilitar a simplificação:
\text{numerador}=(2x\sin x+(x^{2}+1)\sin x)+(2x\cos x-(x^{2}+1)\cos x).
Fatorando \sin x no primeiro grupo e \cos x no segundo:
\text{numerador}=\sin x\,(2x+x^{2}+1)+\cos x\,(2x-x^{2}-1).
Reescrevendo os polinômios como quadrados perfeitos:
2x+x^{2}+1=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2},
2x-x^{2}-1=-(x^{2}-2x+1)=-(x-1)^{2}.
Portanto o numerador simplificado fica
\text{numerador}=\sin x\,(x+1)^{2}-\cos x\,(x-1)^{2}.
O denominador da regra do quociente é [v(x)]^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}.

Resposta

f'(x)=\frac{\sin x\,(x+1)^{2}-\cos x\,(x-1)^{2}}{(\sin x+\cos x)^{2}}

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