Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(d) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(f) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde f é contínua, mas f^prime não é definida).
f(x)=raiz[3]x^2-1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=raiz[3]x^2-1 = |x|^2/3-1
e pede análise completa de domínio, derivadas, monotonicidade, extremos, concavidade, inflexões, raízes, assíntotas, esboço e pontos de tangente vertical ou não definida. Vamos usar cálculo de derivadas e limites.

Passo 2

(a) Domínio e assíntotas verticais
A função xmapstoraiz[3]x^2 está definida para todo xinR.
Portanto o domínio é
Dom(f)=R
Como não há valor de x que torne f(x) infinita, não existem retas assíntotas verticais.

Passo 3

(b) Derivada e monotonicidade
Para
Note que e em . Em a derivada não existe (divisão por zero).
Logo é decrescente em e crescente em .

Passo 4

(c) Extremos locais
Como f passa de decrescente (à esquerda de 0) para crescente (à direita de 0), em x=0 há um mínimo local.
O valor é
f(0)=|0|^2/3-1=-1
Não há pontos de máximo locais.

Passo 5

(d) Segunda derivada e concavidade
Para xneq0 podemos derivar f'(x) de forma unificada notando que
f''(x)=-29,1|x|^4/3(xneq0)
Como f''(x)<0 em todos xneq0, a curva é côncava para baixo em (-infty,0) e em (0,infty). Não há região de concavidade para cima.

Passo 6

(e) Pontos de inflexão
Não há mudança de sinal de f''(x), portanto não existem pontos de inflexão.

Passo 7

(f) Raízes da equação f(x)=0
Resolvendo
|x|^2/3-1=0 ;Longrightarrow;|x|^2/3=1 ;Longrightarrow;|x|=1
logo as raízes são
x=-1, x=1

Passo 8

(g) Assíntotas horizontais ou inclinadas
Ao crescer |x|toinfty,
f(x)=|x|^2/3-1to+infty,
não há assíntotas horizontais.
Para assíntota inclinada, o coeficiente angular seria
m=limxtopminftyf(x)x =limxtopminfty|x|^2/3x =0,
mas então b=limxtopminfty(f(x)-0cdot x)=+infty.
Logo não há assíntotas inclinadas.

Passo 9

(h) Esboço do gráfico
  • Em x=0, f(0)=-1.
  • Para x<0 a curva desce até -1 com concavidade para baixo, depois sobe para +infty em x>0, também côncava para baixo.
  • Em x=-1 e x=1 corta o eixo x.
  • As “pontas” para xtopminfty vão lentamente para cima (crescimento sublinear).

Passo 10

(i) Tangente vertical e pontos sem derivada
Em x=0 a derivada explode ( |x|^-1/3toinfty), gerando reta tangente vertical em (0,-1). É também o único ponto onde f é contínua e f' não existe.

Resposta

(a)
decrescente em .
(c) Mínimo local em com ; não há máximos locais.
(d)
côncava para baixo em e .
(e) Sem pontos de inflexão.
(f) Raízes em e .
(g) Sem assíntotas horizontais nem inclinadas.
(h) Gráfico em forma de “V arredondado” côncavo para baixo, mínimo em , cruza em .
(i) Reta tangente vertical em ; não existe.]

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