Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de
, bem como os valores de
nesses pontos;
(d) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(f) Calcule as raízes de
(soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva
tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
é contínua, mas
não é definida).
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
(b) Calcule
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de
(d) Calcule
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
(f) Calcule as raízes de
(g) Verifique se a curva
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede análise completa de domínio, derivadas, monotonicidade, extremos, concavidade, inflexões, raízes, assíntotas, esboço e pontos de tangente vertical ou não definida. Vamos usar cálculo de derivadas e limites.
Passo 2
(a) Domínio e assíntotas verticais
A função está definida para todo
.
Portanto o domínio é
A função
Portanto o domínio é
Como não há valor de
que torne
infinita, não existem retas assíntotas verticais.
Passo 3
(b) Derivada e monotonicidade
Para
Note que e
em
. Em
a derivada não existe (divisão por zero).
Logo
é decrescente em
e crescente em
.
Passo 4
(c) Extremos locais
Como passa de decrescente (à esquerda de 0) para crescente (à direita de 0), em
há um mínimo local.
O valor é
Como
O valor é
Não há pontos de máximo locais.
Passo 5
(d) Segunda derivada e concavidade
Para podemos derivar
de forma unificada notando que
Para
Como
em todos
, a curva é côncava para baixo em
e em
. Não há região de concavidade para cima.
Passo 6
(e) Pontos de inflexão
Não há mudança de sinal de , portanto não existem pontos de inflexão.
Não há mudança de sinal de
Passo 7
(f) Raízes da equação
Resolvendo
Resolvendo
logo as raízes são
Passo 8
(g) Assíntotas horizontais ou inclinadas
Ao crescer ,
Ao crescer
não há assíntotas horizontais.
Para assíntota inclinada, o coeficiente angular seria
Para assíntota inclinada, o coeficiente angular seria
mas então
.
Logo não há assíntotas inclinadas.
Logo não há assíntotas inclinadas.
Passo 9
(h) Esboço do gráfico
- Em
, . - Para
a curva desce até com concavidade para baixo, depois sobe para em , também côncava para baixo. - Em
e corta o eixo . - As “pontas” para
vão lentamente para cima (crescimento sublinear).
Passo 10
(i) Tangente vertical e pontos sem derivada
Em a derivada explode (
), gerando reta tangente vertical em
. É também o único ponto onde
é contínua e
não existe.
Em
Resposta
(a)
decrescente em .
(c) Mínimo local em
com
; não há máximos locais.
(d)
(d)
côncava para baixo em
e
.
(e) Sem pontos de inflexão.
(f) Raízes em e
.
(g) Sem assíntotas horizontais nem inclinadas.
(h) Gráfico em forma de “V arredondado” côncavo para baixo, mínimo em , cruza
em
.
(i) Reta tangente vertical em ;
não existe.]
(e) Sem pontos de inflexão.
(f) Raízes em
(g) Sem assíntotas horizontais nem inclinadas.
(h) Gráfico em forma de “V arredondado” côncavo para baixo, mínimo em
(i) Reta tangente vertical em