Considere a equação diferencial de Legendre,
(1-x^2) y^prime prime+2 x y^prime+alpha(alpha+1) y=0 ; alpha in R
Encontre a solução da equação anterior em torno do ponto x0=0. Para isto,
(a) Propor y(x)=sumn=0^infty an x^n e verificar que os an satisfazem a seguinte relação de recorrência:
an+2=-(alpha-n)(n+alpha+1)(n+1)(n+2)
(b) Mostre que
a2 n & =(-1)^n alpha(alpha-2) ldots(alpha-2 n+2)(alpha+1)(alpha+3) ldots(alpha+2 n-1) a0(2 n)! a2 n+1 & =(-1)^n(alpha-1)(alpha-3) ldots(alpha-2 n+1)(alpha+2)(alpha+4) ldots(alpha+2 n) a1(2 n+1)!
Portanto y(x)=a0 sumn=0^infty a2 n x^2 n+a1 sumn=0^infty a2 n+1 x^2 n+1=a0 y1(x)+a1 y2(x).
(c) Observe que se alpha=p é um natural não nulo então se p é par y1(x) é um polinômio, e se p é ímpar y2(x) é um polinômio. Os 4 primeiros polinômios de Legendre (normalizados de forma que P(1)=1 ) são:
p0(x)=1 ; p1(x)=x ; p2(x)=12(3 x^2-1) ; p3(x)=12(5 x^3-3 x).
[Estes polinômios estão definidos para todo x, porém resolvem a equação de Legendre apenas para x in(-1,1)].

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Legendre
(1 - x^2),y'' + 2x,y' + alpha(alpha+1),y = 0,
e pede a solução em série em torno de x0=0. Vamos usar séries de potências, ou seja, propor
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n,
e então (a) obter a relação de recorrência entre os coeficientes an, (b) resolver essa recorrência separando termos pares e ímpares, e (c) ver que para alpha=pinN um dos ramos fica truncado, gerando os polinômios de Legendre.

Passo 2

Calculemos as derivadas:
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2
Substituindo em
(1 - x^2),y'' + 2x,y' + alpha(alpha+1),y=0
temos
sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 - sumn=2^inftyn(n-1)anx^n +2sumn=1^inftyn,an,x^n +alpha(alpha+1)sumn=0^inftyanx^n=0
Reindexando as somas para coletar pot^encias x^k e igualando coeficientes de x^k a zero, chega\u2010se \u00e0 condi\u00e7\u00e3o
(k+2)(k+1)ak+2 - [,k(k-1) - 2k - alpha(alpha+1),]ak = 0
o que simplifica para
ak+2 = -(alpha-k)(alpha+k+1)(k+1)(k+2),ak
Trocando k por n, obt\u00e9m\u2010se exatamente
an+2 = -(alpha-n)(n+alpha+1)(n+1)(n+2),an

Passo 3

Para resolver a recorrência separamos os coeficientes de índice par e ímpar:
– Índices pares: n=2m. Iterando a relação de a2m em termos de a2m-2 obtemos
a2n = (-1)^n,alpha(alpha-2)cdots(alpha-2n+2), (alpha+1)(alpha+3)cdots(alpha+2n-1)(2n)!;a0
– Índices ímpares: n=2m+1. Iterando similarmente temos
a2n+1 = (-1)^n(alpha-1)(alpha-3)cdots(alpha-2n+1), (alpha+2)(alpha+4)cdots(alpha+2n)(2n+1)!;a1
Assim as duas soluções independentes são
y1(x)=sumn=0^inftya2n,x^2n, y2(x)=sumn=0^inftya2n+1,x^2n+1,
e a solução geral fica
y(x)=a0,y1(x)+a1,y2(x)

Passo 4

Quando alpha=pinN, nota-se que no produto para a2n surge o fator alpha-2n+2, que anula a partir de n=tfracp2+1 se p é par. Logo y1 torna-se um polinômio de grau p. Analogamente, se p é ímpar, o ramo ímpar y2 se trunca em polinômio de grau p. São justamente esses os polinômios de Legendre Pp(x) normalizados por Pp(1)=1. Os quatro primeiros são:
p0(x)=1, p1(x)=x, p2(x)=tfrac12l(3x^2-1r), p3(x)=tfrac12l(5x^3-3xr)

Resposta

(a) A relação de recorrência é
an+2 = -(alpha-n)(n+alpha+1)(n+1)(n+2),an
(b) As fórmulas fechadas dos coeficientes são
a2n = (-1)^n,alpha(alpha-2)cdots(alpha-2n+2), (alpha+1)(alpha+3)cdots(alpha+2n-1)(2n)!,a0,
a2n+1 = (-1)^n(alpha-1)(alpha-3)cdots(alpha-2n+1), (alpha+2)(alpha+4)cdots(alpha+2n)(2n+1)!,a1
Logo
y(x)=a0sumn=0^inftya2nx^2n +a1sumn=0^inftya2n+1x^2n+1
(c) Para alpha=pinN, um dos ramos se torna polinomial de grau p, definindo os polinômios de Legendre. Os 4 primeiros normalizados com P(1)=1 são
p0(x)=1, p1(x)=x, p2(x)=tfrac12(3x^2-1), p3(x)=tfrac12(5x^3-3x)

Exercícios relacionados