Considere a equação diferencial de Legendre,
Encontre a solução da equação anterior em torno do ponto
. Para isto,
(a) Propor
e verificar que os
satisfazem a seguinte relação de recorrência:
(b) Mostre que
Portanto
.
(c) Observe que se
é um natural não nulo então se
é par
é um polinômio, e se
é ímpar
é um polinômio. Os 4 primeiros polinômios de Legendre (normalizados de forma que
) são:
.
[Estes polinômios estão definidos para todo
, porém resolvem a equação de Legendre apenas para
.
(a) Propor
(c) Observe que se
[Estes polinômios estão definidos para todo
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Legendre
e pede a solução em série em torno de
. Vamos usar séries de potências, ou seja, propor
e então (a) obter a relação de recorrência entre os coeficientes
, (b) resolver essa recorrência separando termos pares e ímpares, e (c) ver que para
um dos ramos fica truncado, gerando os polinômios de Legendre.
Passo 2
Calculemos as derivadas:
Substituindo em
temos
Reindexando as somas para coletar pot^encias
e igualando coeficientes de
a zero, chega\u2010se \u00e0 condi\u00e7\u00e3o
o que simplifica para
Trocando
por
, obt\u00e9m\u2010se exatamente
Passo 3
Para resolver a recorrência separamos os coeficientes de índice par e ímpar:
– Índices pares:
. Iterando a relação de
em termos de
obtemos
– Índices ímpares:
. Iterando similarmente temos
Assim as duas soluções independentes são
e a solução geral fica
Passo 4
Quando
, nota-se que no produto para
surge o fator
, que anula a partir de
se
é par. Logo
torna-se um polinômio de grau
. Analogamente, se
é ímpar, o ramo ímpar
se trunca em polinômio de grau
. São justamente esses os polinômios de Legendre
normalizados por
. Os quatro primeiros são:
Resposta
(a) A relação de recorrência é
(b) As fórmulas fechadas dos coeficientes são
Logo
(c) Para
, um dos ramos se torna polinomial de grau
, definindo os polinômios de Legendre. Os
primeiros normalizados com
são