Para cada uma das funções dadas abaixo, determine uma equação para a reta tangente, y=f(p)+f^{\prime}(p)(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Se f^{\prime}(p) \neq 0, determine uma equação para a reta normal, y=f(p)-\frac{1}{f^{\prime}(p)}(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)).
(g) f(x)=x^{2}+\sqrt{x} no ponto de abscissa p=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente e, se existir, a reta normal ao gráfico de f(x)=x^{2}+\sqrt{x}
no ponto de abscissa p=1. Vamos usar a definição de derivada para obter o coeficiente angular da tangente e a relação de coeficiente angular da normal (negativo recíproco).

Passo 2

Calcular o valor de f em p=1: f(1)=1^{2}+\sqrt{1}=1+1=2.

Passo 3

Determinar a derivada geral e avaliá-la em x=1:
A derivada é f'(x)=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Logo, f'(1)=2\cdot1+\frac{1}{2\cdot1}=2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}.

Passo 4

Construir a reta tangente usando
y=f(p)+f'(p)\,(x-p).
Substituindo f(1)=2, f'(1)=\tfrac{5}{2} e p=1,
y=2+\tfrac{5}{2}(x-1) \;\Longrightarrow\; y=\tfrac{5}{2}x-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Como f'(1)=\tfrac{5}{2}\neq0, a reta normal existe e tem coeficiente angular -1/f'(1)=-2/5. A equação é
y=f(p)-\frac{1}{f'(p)}\,(x-p) \;\Longrightarrow\; y=2-\tfrac{2}{5}(x-1) \;\Longrightarrow\; y=-\tfrac{2}{5}x+\tfrac{12}{5}.

Resposta

reta tangente: y=\tfrac{5}{2}x-\tfrac{1}{2}
reta normal: y=-\tfrac{2}{5}x+\tfrac{12}{5}

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