Para cada uma das funções dadas abaixo, determine uma equação para a reta tangente, y=f(p)+f^{\prime}(p)(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Se f^{\prime}(p) \neq 0, determine uma equação para a reta normal, y=f(p)-\frac{1}{f^{\prime}(p)}(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)).
(f) f(x)=x^{3}-x no ponto de abscissa p=0

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente e, se existir, a reta normal ao gráfico de f no ponto de abscissa p=0. O conteúdo envolve derivada, valor da função e fórmulas
y = f(p) + f'(p)\,(x - p)
para a tangente e
y = f(p) - \frac{1}{f'(p)}\,(x - p)
para a normal.

Passo 2

Calculamos o valor de f em p=0:
f(0) = 0^3 - 0 = 0.

Passo 3

Determinar a derivada de f e avaliá-la em 0:
f'(x) = 3x^2 - 1,
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f'(0) = 3\cdot0^2 - 1 = -1.

Passo 4

Aplicar a fórmula da reta tangente
y = f(0) + f'(0)\,(x - 0)
substituindo f(0)=0 e f'(0)=-1, obtemos
y = 0 + (-1)\,(x) = -x.

Passo 5

Como f'(0) = -1 \neq 0, podemos usar a fórmula da reta normal
y = f(0) - \frac{1}{f'(0)}\,(x - 0)
com f(0)=0 e f'(0)=-1, daí
y = 0 - \frac{1}{-1}\,x = x.

Resposta

reta tangente: \displaystyle y = -x
reta normal: \displaystyle y = x

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