Para cada uma das funções dadas abaixo, determine uma equação para a reta tangente, y=f(p)+f^{\prime}(p)(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Se f^{\prime}(p) \neq 0, determine uma equação para a reta normal, y=f(p)-\frac{1}{f^{\prime}(p)}(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)).
(e) f(x)=x^{2}+1 no ponto de abscissa p=1.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^{2}+1
no ponto de abscissa p=1 encontrarmos
– a reta tangente dada por
y=f(p)+f'(p)\,(x-p),
– e, se f'(p)\neq0, a reta normal dada por
y=f(p)-\frac{1}{f'(p)}\,(x-p).
Vamos primeiro calcular f(1) e f'(1).

Passo 2

Calculamos f(1) e a derivada f'(x):
f(1)=1^{2}+1=2,
f'(x)=2x \quad\Longrightarrow\quad f'(1)=2\cdot1=2.

Passo 3

Agora substituímos na fórmula da reta tangente:
y=f(1)+f'(1)\,(x-1) =2+2\,(x-1).
Simplificando,
y=2+2x-2=2x.

Passo 4

Como f'(1)=2\neq0, existe reta normal. Usamos
y=f(1)-\frac{1}{f'(1)}\,(x-1) =2-\frac{1}{2}\,(x-1).
Simplificando,
y=2-\tfrac12x+\tfrac12 =\tfrac52-\tfrac12x.

Resposta

A reta tangente em p=1 é
y=2x.
A reta normal em p=1 é
y=-\tfrac12x+\tfrac52.

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