Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real k está no conjunto imagem da função f somente quando a curva de nível de f, correspondente a z=k, é não vazia.)
3. f(x, y)=1-x^2.

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x,y)=1 - x^2,
que a gente determine o domínio, esboce algumas curvas de nível (pelo menos quatro) e ache o conjunto-imagem. Vamos usar a definição de domínio de funções de duas variáveis, resolver f(x,y)=k para desenhar as curvas de nível e, a partir disso, ver para quais k elas existem, obtendo o intervalo de valores que f assume.

Passo 2

Como f(x,y)=1 - x^2 é dada por um polinômio em x e não há divisão por zero nem logaritmo nem raiz quadrada, não há restrição sobre x nem sobre y. Portanto,
Dom(f)=(x,y)mid xinR,,yinR=R^2

Passo 3

Para encontrar a curva de nível associada a um valor real k, igualamos
f(x,y)=k
ou seja
1 - x^2 = k
Dessa igualdade segue
x^2 = 1 - k
Para existirem soluções reais em x, precisamos de
1 - k >= 0 Long<=ftrightarrow k <= 1

Passo 4

Vamos escolher quatro valores de k<=1 e descrever as curvas de nível no plano xy:
Para cada valor de k temos
x = pmraiz1 - k,
e y fica livre (pode ser qualquer número real), ou seja, são retas verticais.
1. k=1: x^2=0 Rightarrow x=0. É a reta vertical x=0.
2. k=0: x^2=1 Rightarrow x=pm1. São as retas verticais x=1 e x=-1.
3. k=-1: x^2=2 Rightarrow x=pmraiz2. Reta vertical em x=raiz2 e em x=-raiz2.
4. k=-3: x^2=4 Rightarrow x=pm2. Reta vertical em x=2 e em x=-2.
Quando k>1, não há curva de nível pois 1-k<0 não admite raiz real.

Passo 5

O conjunto-imagem de f é o conjunto de todos os k para os quais existe alguma curva de nível não vazia. Vimos que isso ocorre exatamente quando k<=1. Logo
Im(f)=(-infty,,1]

Resposta

Domínio: R^2.
Curvas de nível: para cada k<=1, retas verticais x=pmraiz1-k (especialmente, para k=1,0,-1,-3 temos x=0,pm1,pmraiz2,pm2, respectivamente).
Conjunto-imagem: (-infty,,1].

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