Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real
está no conjunto imagem da função
somente quando a curva de nível de
, correspondente a
, é não vazia.)
3.
.
3.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente determine o domínio, esboce algumas curvas de nível (pelo menos quatro) e ache o conjunto-imagem. Vamos usar a definição de domínio de funções de duas variáveis, resolver
para desenhar as curvas de nível e, a partir disso, ver para quais
elas existem, obtendo o intervalo de valores que
assume.
Passo 2
Como
é dada por um polinômio em
e não há divisão por zero nem logaritmo nem raiz quadrada, não há restrição sobre
nem sobre
. Portanto,
Passo 3
Para encontrar a curva de nível associada a um valor real
, igualamos
ou seja
Dessa igualdade segue
Para existirem soluções reais em
, precisamos de
Passo 4
Vamos escolher quatro valores de
e descrever as curvas de nível no plano
:
Para cada valor de
temos
e
fica livre (pode ser qualquer número real), ou seja, são retas verticais.
Quando
, não há curva de nível pois
não admite raiz real.
Passo 5
O conjunto-imagem de
é o conjunto de todos os
para os quais existe alguma curva de nível não vazia. Vimos que isso ocorre exatamente quando
. Logo
Resposta
Domínio:
.
Curvas de nível: para cada , retas verticais
(especialmente, para
temos
, respectivamente).
Conjunto-imagem: .
Curvas de nível: para cada
Conjunto-imagem: