Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=x^ln (x)+ln (ln (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^ln(x)+lnl(ln(x)r).
O conteúdo principal envolve derivar a função potência com expoente variável (usando e^u e regra da cadeia) e derivar o logarítmico composto (regra da cadeia).

Passo 2

Seja g(x)=x^ln(x). Podemos reescrever
g(x)=e^(ln(x))^2
Aplicando a regra da cadeia para e^u e depois para u=(ln(x))^2, temos
g'(x) = e^(ln(x))^2cdot ddxl((ln(x))^2r) = e^(ln(x))^2cdot 2,ln(x)cdot1x
Como e^(ln(x))^2=x^ln(x), fica
g'(x) = x^ln(x)cdot2,ln(x)x =2,x^ln(x)-1,ln(x)

Passo 3

Seja h(x)=lnl(ln(x)r). Aplicando regra da cadeia ao logaritmo:
h'(x) =1ln(x)cdotddxl(ln(x)r) =1ln(x)cdot1x =1x,ln(x)

Passo 4

Como f(x)=g(x)+h(x), a derivada é
f'(x)=g'(x)+h'(x) =2,x^ln(x)-1,ln(x)+1x,ln(x)

Resposta

f'(x) =2,x^ln(x)-1,ln(x)+1x,ln(x)

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