Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=cot (2 x^3-sin (x^2))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cotl(2x^3-sin(x^2)r)
Aqui vamos usar o conteúdo de derivadas de funções trigonométricas (derivada de cot) e a regra da cadeia para composições.

Passo 2

Primeiro, recordando a derivada de cot(u) em relação a x:
ddxl[cot(u)r] =-csc^2(u),dudx
Ou seja, aplicamos a regra da cadeia: derivada de cot vezes a derivada do argumento u(x).

Passo 3

Definimos o argumento interno
u(x)=2x^3-sin(x^2)
Agora calculamos dudx usando soma, potência e a derivada de sin:
ddxl[2x^3r]=6x^2, ddxl[sin(x^2)r] =cos(x^2)cdot 2x
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u'(x)=6x^2-2xcos(x^2) =2xl(3x-cos(x^2)r)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=cotl(u(x)r):
f'(x) =-csc^2l(u(x)r),u'(x) =-csc^2l(2x^3-sin(x^2)r);2xl(3x-cos(x^2)r)
Para simplificar o sinal, podemos reescrever:
f'(x) =2xl(cos(x^2)-3xr),csc^2l(2x^3-sin(x^2)r)

Resposta

f'(x) =2xl(cos(x^2)-3xr),csc^2l(2x^3-sin(x^2)r)

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