Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real k está no conjunto imagem da função f somente quando a curva de nível de f, correspondente a z=k, é não vazia.)
4. f(x, y)=raiz1-x^2-4 y^2.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para
f(x,y)=raiz1 - x^2 - 4y^2:
  1. Determinar o domínio, isto é, onde o radicando é não negativo.
  2. Esboçar pelo menos quatro curvas de nível f(x,y)=k.
  3. Encontrar o conjunto-imagem, ou seja, todos os valores reais k que ocorrem.
Para isso vamos usar:
  • Condição de existência da raiz quadrada ( 1 - x^2 - 4y^2>=0).
  • Definição de curva de nível ( f(x,y)=kiff resolver em x,y).
  • Relação entre curva de nível vazia e valor não estar na imagem.

Passo 2

Domínio de f é dado por
1 - x^2 - 4y^2 ;>=; 0
que equivale a
x^2 + 4y^2 ;<=; 1
Logo
Dom(f) = (x,y)mid x^2 + 4y^2 <= 1,
ou seja, o interior e a fronteira da elipse de semieixos 1 (eixo x) e 1/2 (eixo y).

Passo 3

A curva de nível associada ao valor k é
raiz1 - x^2 - 4y^2 = k
Como o lado esquerdo é não negativo, precisamos ter k>=0. Elevando ao quadrado:
1 - x^2 - 4y^2 = k^2 Long<=ftrightarrow x^2 + 4y^2 = 1 - k^2
Para k<0 não há pontos; para k>1 o lado direito fica negativo e também não há pontos. Para 0<= k<=1 obtemos uma família de elipses concêntricas.

Passo 4

Vamos escolher quatro valores de k em [0,1] e escrever as respectivas curvas:
Para k=0:
x^2 + 4y^2 = 1 - 0^2 = 1,
que é a elipse limite de domínio.
Para k=tfrac12:
x^2 + 4y^2 = 1 - l(tfrac12r)^2 = tfrac34,
uma elipse interna, um pouco menor.
Para k=tfracraiz32:
x^2 + 4y^2 = 1 - l(tfracraiz32r)^2 = 1 - tfrac34 = tfrac14,
elipse ainda menor, “bem no miolo”.
Para k=1:
x^2 + 4y^2 = 1 - 1^2 = 0,
que degenera no ponto (0,0).
Dessa forma temos quatro curvas de nível não vazias, conforme o pedido.

Passo 5

O conjunto-imagem de f são todos os k para os quais a curva de nível não é vazia, ou seja,
kin[0,1]

Resposta

Domínio: (x,y)mid x^2+4y^2<=1.
Curvas de nível: para kin[0,1], as elipses
x^2+4y^2=1-k^2,
com exemplos em k=0,tfrac12,tfracraiz32,1.
Conjunto-imagem: [0,1].

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