Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real
está no conjunto imagem da função
somente quando a curva de nível de
, correspondente a
, é não vazia.)
4.
.
4.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para
- Determinar o domínio, isto é, onde o radicando é não negativo.
- Esboçar pelo menos quatro curvas de nível
. - Encontrar o conjunto-imagem, ou seja, todos os valores reais
que ocorrem.
Para isso vamos usar:
- Condição de existência da raiz quadrada (
). - Definição de curva de nível (
resolver em ). - Relação entre curva de nível vazia e valor não estar na imagem.
Passo 2
Domínio de
é dado por
que equivale a
Logo
ou seja, o interior e a fronteira da elipse de semieixos
(eixo
) e
(eixo
).
Passo 3
A curva de nível associada ao valor
é
Como o lado esquerdo é não negativo, precisamos ter
. Elevando ao quadrado:
Para
não há pontos; para
o lado direito fica negativo e também não há pontos. Para
obtemos uma família de elipses concêntricas.
Passo 4
Vamos escolher quatro valores de
em
e escrever as respectivas curvas:
Para
:
que é a elipse limite de domínio.
Para
:
uma elipse interna, um pouco menor.
Para
:
elipse ainda menor, “bem no miolo”.
Para
:
que degenera no ponto
.
Dessa forma temos quatro curvas de nível não vazias, conforme o pedido.
Passo 5
O conjunto-imagem de
são todos os
para os quais a curva de nível não é vazia, ou seja,
Resposta
Domínio:
.
Curvas de nível: para , as elipses
Curvas de nível: para
com exemplos em
.
Conjunto-imagem: .
Conjunto-imagem: