(a) Determine todos os valores de tais que a função seja contínua.
(b) Determine e de modo que a função seja diferenciável. Para estes valores de e , desenhe o gráfico de . Um bom desenho deixará claro que se trata do gráfico de uma função diferenciável.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede: (a) quais a,b,c garantem continuidade em x=1; (b) quais a,b,c garantem diferenciabilidade em x=1 e, para esses valores, desenhar o gráfico de f. Vamos usar as definições de limite, continuidade e derivada lateral em x=1.
Passo 2
Para continuidade em x=1 precisamos de
limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x)
Calculemos cada termo:
limxto1^-f(x)=limxto1^-e^x=e^1=e,
limxto1^+f(x) =limxto1^+(-x^2+b,x+c) =-1+b+c,
e f(1)=a. Logo as igualdades são
a=e e a=-1+b+c
Passo 3
Das duas equações de continuidade obtemos
a=e, -1+b+c=e Longrightarrow b+c=e+1
Portanto, para qualquer par (b,c) que satisfaça b+c=e+1 e a=e, a função é contínua em x=1.
Passo 4
Para diferenciabilidade em x=1 usamos que as derivadas laterais devem coincidir:
f'(1^-)=f'(1^+)
A derivada para x<1 é
f'(x)=ddxe^x=e^x ;Longrightarrow; f'(1^-)=e^1=e
Para x>1,
f'(x)=ddx(-x^2+b,x+c)=-2x+b ;Longrightarrow; f'(1^+)= -2cdot1 + b = b-2
Igualando as derivadas:
b-2 = e Longrightarrow b=e+2
Passo 5
Substituindo b=e+2 em b+c=e+1 obtemos
e+2 + c = e+1 Longrightarrow c=-1
E já tínhamos a=e. Logo para a=e, b=e+2 e c=-1 a função é contínua e diferenciável em x=1.
Passo 6
Para esses valores, o gráfico de f é:
para x<1, a curva y=e^x, que chega a (1,e) com inclinação e;
para x>=1, a parábola
y=-x^2+(e+2)x-1,
que passa por (1,e) e tem derivada igual a e em x=1. Assim as duas peças se unem suavemente, sem quinas, mostrando que f é diferenciável em todo R.
Resposta
(a) a=e e b+c=e+1.
(b) a=e,;b=e+2,;c=-1, com gráfico suave unindo e^x a uma parábola em x=1.