Para cada uma das funções
definidas abaixo, comprove a existência da inversa
, determine o domínio desta última e uma expressão que a defina explicitamente. Esboce os gráficos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
mostrar que ela tem inversa
, achar o domínio de
(que é a imagem de
) e uma fórmula explícita para
. O conteúdo principal é de funções invertíveis, monotonicidade e resolução de equação para achar a inversa.
Passo 2
Para garantir que
seja invertível em
, mostramos que ela é estritamente monótona. Calculemos a derivada
Como em
temos
, segue que
e de fato
para
. Logo,
é estritamente decrescente nesse domínio e, portanto, injetora.
Passo 3
Agora determinamos a imagem de
em
.
- Em
,
- Quando
,
Como
é contínua e decrescente de
em direção a 0, a imagem é
Passo 4
Para achar a inversa
, escrevemos
e resolvemos para
:
Como na definição de
temos
, escolhemos o sinal negativo da raiz:
Este é
.
Passo 5
Esboço dos gráficos (forma qualitativa):
- O gráfico de
decresce de em direção a 1 quando , aproximando-se assintoticamente de . - O gráfico de
é o reflexo de em torno da reta : parte em e cresce (no eixo horizontal de ) até o ponto em que corresponde a .
Resposta
O inversa é
com domínio
.