Para cada uma das funções f definidas abaixo, comprove a existência da inversa g, determine o domínio desta última e uma expressão que a defina explicitamente. Esboce os gráficos de f e g.
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}, x \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1},\quad x\le0
mostrar que ela tem inversa g, achar o domínio de g (que é a imagem de f) e uma fórmula explícita para g. O conteúdo principal é de funções invertíveis, monotonicidade e resolução de equação para achar a inversa.

Passo 2

Para garantir que f seja invertível em (-\infty,0], mostramos que ela é estritamente monótona. Calculemos a derivada
f'(x) =\frac{2x(x^2+1)-x^2\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1)^2} =\frac{2x}{(x^2+1)^2}.
Como em (-\infty,0] temos x\le0, segue que f'(x)\le0 e de fato f'(x)<0 para x<0. Logo, f é estritamente decrescente nesse domínio e, portanto, injetora.

Passo 3

Agora determinamos a imagem de f em (-\infty,0].
  • Em x=0,
f(0)=\frac{0^2}{0^2+1}=0.
  • Quando x\to -\infty,
\frac{x^2}{x^2+1}\to1\quad\text{(porém 1 não é atingido, apenas é limite).}éãéé
Como f é contínua e decrescente de (-\infty,0] em direção a 0, a imagem é
\bigl[f(0),\lim_{x\to-\infty}f(x)\bigr) =[0,1).

Passo 4

Para achar a inversa g, escrevemos y=f(x) e resolvemos para x:
y=\frac{x^2}{x^2+1} \;\Longrightarrow\; y\,(x^2+1)=x^2 \;\Longrightarrow\; yx^2+y=x^2 \;\Longrightarrow\; x^2(1-y)=y \;\Longrightarrow\; x^2=\frac{y}{1-y}.
Como na definição de f temos x\le0, escolhemos o sinal negativo da raiz:
x=-\sqrt{\frac{y}{1-y}}.
Este é g(y).

Passo 5

Esboço dos gráficos (forma qualitativa):
  • O gráfico de f decresce de f(0)=0 em direção a 1 quando x\to-\infty, aproximando-se assintoticamente de y=1.
  • O gráfico de g é o reflexo de f em torno da reta y=x: parte em (0,0) e cresce (no eixo horizontal de y) até o ponto em que y\to1 corresponde a g(y)\to-\infty.

Resposta

O inversa é
g(y)=-\sqrt{\frac{y}{1-y}},
com domínio [0,1).

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