Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
f(x)=x \ln x-x

Passo 1

O enunciado pede para cada função determinar (1) o domínio e (2) a derivada de primeira ordem. Aqui temos
f(x)=x\ln(x)-x.
O conteúdo envolvido é: restrição de domínio para o logaritmo natural e regras de derivação (produto e diferença).

Passo 2

Para existir \ln(x) é necessário x>0. Não há outra restrição em x nem em x\ln(x) nem em -x.
Portanto, o domínio de f é
(0,\infty).

Passo 3

Vamos derivar usando:
  • Regra do produto para x\ln(x):
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x)\bigr) =1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x} =\ln(x)+1.
  • Regra da diferença para -x:
\frac{d}{dx}(-x)=-1.
Somando os resultados,
f'(x)=(\ln(x)+1)-1=\ln(x).

Resposta

Domínio: (0,\infty) f'(x)=\ln(x)

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