Para cada uma das funções
dadas pelas expressões abaixo, desenhe várias curvas de nível (em um mesmo sistema de eixos).
(i)
;
(i)
Passo 1
O enunciado pede: para a função
, desenhar várias curvas de nível num mesmo sistema de eixos.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Deve-se representar várias curvas de nível (ou seja, vários valores de nível
) no mesmo gráfico.
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação passo a passo):
- Para um valor fixo
, a curva de nível de uma função é o conjunto de pontos que satisfazem . - Aqui, a equação da curva de nível é
, ou seja:
- Nas curvas de nível,
e são as coordenadas do ponto no plano; é um número fixo que representa o valor de naquela curva.
Passo 3
Aplicando à função dada: escrever a equação da curva de nível para
.
- Substituindo, obtemos:
- Essa é a equação de cada curva de nível.
Passo 4
Interpretação geométrica e paramétrica (para entender como desenhar):
- A equação
significa que o valor de é constante igual a , enquanto pode ser qualquer número real. - Portanto cada curva de nível é uma reta horizontal no plano. Em forma paramétrica:
com . - Observações úteis: a curva de nível com
é o eixo . Para as retas ficam acima do eixo ; para ficam abaixo.
Passo 5
Exemplos concretos (escolha de níveis para desenhar): listar algumas curvas que vale a pena desenhar no mesmo gráfico.
- Para
: reta (por exemplo passa por ). - Para
: reta . - Para
: reta (eixo ). - Para
: reta . - Para
: reta .
Essas cinco linhas dão uma boa ideia do padrão: retas horizontais igualmente espaçadas se osforem igualmente espaçados.
Passo 6
Como desenhar passo a passo (na folha, rápido para a prova):
- Desenhe um sistema de eixos
(horizontal) e (vertical). - Marque no eixo
os valores escolhidos de (por exemplo ). - Em cada marca
trace uma reta horizontal que atravesse toda a largura útil do papel. - Rotule cada reta com o seu valor de
(por exemplo escreva próximo à reta).
Pronto — todas as curvas de nível em um mesmo sistema.
Passo 7
Comentário didático rápido (ajuda a entender o porquê):
- O gradiente de
é : é um vetor constante apontando para cima, perpendicular às retas . Isso explica que a função aumenta verticalmente e que as curvas de nível são horizontais. - Em provas, basta escrever que as curvas de nível satisfazem
e desenhar algumas retas horizontais para valores representativos de .
Resposta
As curvas de nível são as retas horizontais
. Exemplos desenháveis:
.