Para cada uma das funções f(x, y) dadas pelas expressões abaixo, desenhe várias curvas de nível (em um mesmo sistema de eixos).
(i) y;

Passo 1

O enunciado pede: para a função f(x,y)=y, desenhar várias curvas de nível num mesmo sistema de eixos.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x,y)=y.
  • Deve-se representar várias curvas de nível (ou seja, vários valores de nível c) no mesmo gráfico.

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação passo a passo):
  • Para um valor fixo c\in\mathbb{R}, a curva de nível de uma função f(x,y) é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem \,f(x,y)=c.
  • Aqui, a equação da curva de nível é \,f(x,y)=c, ou seja:
f(x,y)=c.
  • Nas curvas de nível, x e y são as coordenadas do ponto no plano; c é um número fixo que representa o valor de f naquela curva.

Passo 3

Aplicando à função dada: escrever a equação da curva de nível para f(x,y)=y.
  • Substituindo, obtemos:
y=c.
  • Essa é a equação de cada curva de nível.

Passo 4

Interpretação geométrica e paramétrica (para entender como desenhar):
  • A equação \,y=c significa que o valor de y é constante igual a c, enquanto x pode ser qualquer número real.
  • Portanto cada curva de nível é uma reta horizontal no plano. Em forma paramétrica: (x,y)=(t,c) com t\in\mathbb{R}.
  • Observações úteis: a curva de nível com c=0 é o eixo x. Para c>0 as retas ficam acima do eixo x; para c<0 ficam abaixo.

Passo 5

Exemplos concretos (escolha de níveis para desenhar): listar algumas curvas que vale a pena desenhar no mesmo gráfico.
  • Para \,c=-2: reta \,y=-2 (por exemplo passa por (0,-2), (1,-2), (-1,-2)).
  • Para \,c=-1: reta \,y=-1.
  • Para \,c=0: reta \,y=0 (eixo x).
  • Para \,c=1: reta \,y=1.
  • Para \,c=2: reta \,y=2.
    Essas cinco linhas dão uma boa ideia do padrão: retas horizontais igualmente espaçadas se os c forem igualmente espaçados.

Passo 6

Como desenhar passo a passo (na folha, rápido para a prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos x (horizontal) e y (vertical).
  2. Marque no eixo y os valores escolhidos de c (por exemplo -2,-1,0,1,2).
  3. Em cada marca y=c trace uma reta horizontal que atravesse toda a largura útil do papel.
  4. Rotule cada reta com o seu valor de c (por exemplo escreva y=1 próximo à reta).
    Pronto — todas as curvas de nível em um mesmo sistema.

Passo 7

Comentário didático rápido (ajuda a entender o porquê):
  • O gradiente de f é \nabla f=(0,1): é um vetor constante apontando para cima, perpendicular às retas y=c. Isso explica que a função aumenta verticalmente e que as curvas de nível são horizontais.
  • Em provas, basta escrever que as curvas de nível satisfazem \,y=c e desenhar algumas retas horizontais para valores representativos de c.

Resposta

As curvas de nível são as retas horizontais \,y=c,\\ c\in\mathbb{R}. Exemplos desenháveis: \,y=-2,\\ y=-1,\\ y=0,\\ y=1,\\ y=2.

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