Ronaldo estava observando o pisca-pisca de um brinquedo em sua casa. Ele é composto por 4 lâmpadas diferentes, nas cores amarelo, azul, verde e vermelho. Ronaldo notou que a lâmpada amarela acende a cada 45 segundos, a lâmpada verde, a cada 60 segundos, a azul, a cada 27 segundos, e a vermelha só acende quando as lâmpadas das outras cores estão acesas ao mesmo tempo. De quantos em quantos minutos, a lâmpada vermelha acende?
a) 6
b) 9
c) 12
d) 15
e) 18

Passo 1

O enunciado fornece os períodos de acendimento das lâmpadas e pergunta quando a lâmpada vermelha acende. Informações dadas:
  • A lâmpada amarela acende a cada 45 segundos.
  • A lâmpada verde acende a cada 60 segundos.
  • A lâmpada azul acende a cada 27 segundos.
  • A lâmpada vermelha acende somente quando as três outras lâmpadas (amarela, verde e azul) estiverem acesas ao mesmo tempo.
Pergunta do problema:
  • De quantos em quantos minutos a lâmpada vermelha acende?

Passo 2

Entendendo o que é preciso calcular: a vermelha acende nos instantes em que os três ciclos (amarelo, verde, azul) coincidem. Esses instantes são os múltiplos comuns dos períodos 45, 60 e 27 segundos. Portanto precisamos encontrar o menor instante positivo em segundos em que todos coincidem — isto é, o mínimo múltiplo comum (MMC, também chamado de LCM em inglês) de 45, 60 e 27. Depois converteremos esse tempo para minutos.
Explicação rápida do conceito (didática):
  • O MMC de um conjunto de números é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles.
  • Uma forma prática de achar o MMC é usar fatoração prima de cada número e, para cada primo, tomar a maior potência que aparece em qualquer fatoração; depois multiplicar essas potências.

Passo 3

Factorizar cada período em primos (fazer a fatoração prima explicando passos simples):
  • Para 45: dividir por 3 45 = 3 \times 15. Em seguida 15 = 3 \times 5. Logo
45 = 3^2 \cdot 5.
  • Para 60: dividir por 2 60 = 2 \times 30. Novamente por 2: 30 = 2 \times 15. E 15 = 3 \times 5. Logo
60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5.
  • Para 27: reconhecer que 27 = 3 \times 9 = 3 \times 3 \times 3. Logo
27 = 3^3.
Comentário: nesses três fatores primos relevantes aparecem os primos 2, 3 e 5. Para o MMC devemos pegar, para cada primo, a maior potência que aparece entre as fatorações.

Passo 4

Construir o MMC tomando as maiores potências de cada primo:
  • Para o primo 2: as potências observadas são 2^0 em 45, 2^2 em 60 e 2^0 em 27. A maior potência é 2^2.
  • Para o primo 3: as potências observadas são 3^2 em 45, 3^1 em 60 e 3^3 em 27. A maior potência é 3^3.
  • Para o primo 5: as potências observadas são 5^1 em 45, 5^1 em 60 e 5^0 em 27. A maior potência é 5^1.
Portanto o MMC é
\text{MMC} = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5.

Passo 5

Calcular numericamente o MMC passo a passo (mostrando contas fáceis de fazer sem calculadora):
  • Calcular 3^3 = 27.
  • Calcular 2^2 = 4.
  • Multiplicar 4 \cdot 27 = 108.
  • Multiplicar 108 \cdot 5 = 540.
Logo
\text{MMC}(45,60,27)=540\\ \text{segundos}.

Passo 6

Converter 540 segundos para minutos: como 1 minuto tem 60 segundos,
\frac{540}{60} = 9.
Portanto os instantes em que as três lâmpadas coincidem ocorrem a cada 9 minutos.

Passo 7

Verificação alternativa rápida (opção útil na prova): calcular MMC em duas etapas usando MMC de pares.
  • Primeiro \text{MMC}(45,60) = 180 (porque 45=45, 60=60, o menor comum múltiplo é 180).
  • Depois \text{MMC}(180,27). Note que 180 = 2^2\cdot3^2\cdot5 e 27=3^3. Pegando maiores potências dá 2^2\cdot3^3\cdot5=540. Mesmo resultado: 540 segundos = 9 minutos. Isso confirma o cálculo.

Passo 8

Conclusão final: a lâmpada vermelha acende a cada 9 minutos, que corresponde à alternativa correta.

Resposta

b) 9 minutos

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