Ronaldo estava observando o pisca-pisca de um brinquedo em sua casa. Ele é composto por 4 lâmpadas diferentes, nas cores amarelo, azul, verde e vermelho. Ronaldo notou que a lâmpada amarela acende a cada 45 segundos, a lâmpada verde, a cada 60 segundos, a azul, a cada 27 segundos, e a vermelha só acende quando as lâmpadas das outras cores estão acesas ao mesmo tempo. De quantos em quantos minutos, a lâmpada vermelha acende?
a) 6
b) 9
c) 12
d) 15
e) 18
a) 6
b) 9
c) 12
d) 15
e) 18
Passo 1
O enunciado fornece os períodos de acendimento das lâmpadas e pergunta quando a lâmpada vermelha acende. Informações dadas:
- A lâmpada amarela acende a cada
segundos. - A lâmpada verde acende a cada
segundos. - A lâmpada azul acende a cada
segundos. - A lâmpada vermelha acende somente quando as três outras lâmpadas (amarela, verde e azul) estiverem acesas ao mesmo tempo.
Pergunta do problema:
- De quantos em quantos minutos a lâmpada vermelha acende?
Passo 2
Entendendo o que é preciso calcular: a vermelha acende nos instantes em que os três ciclos (amarelo, verde, azul) coincidem. Esses instantes são os múltiplos comuns dos períodos
,
e
segundos. Portanto precisamos encontrar o menor instante positivo em segundos em que todos coincidem — isto é, o mínimo múltiplo comum (MMC, também chamado de LCM em inglês) de
,
e
. Depois converteremos esse tempo para minutos.
Explicação rápida do conceito (didática):
- O MMC de um conjunto de números é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles.
- Uma forma prática de achar o MMC é usar fatoração prima de cada número e, para cada primo, tomar a maior potência que aparece em qualquer fatoração; depois multiplicar essas potências.
Passo 3
Factorizar cada período em primos (fazer a fatoração prima explicando passos simples):
- Para
: dividir por dá . Em seguida . Logo
- Para
: dividir por dá . Novamente por : . E . Logo
- Para
: reconhecer que . Logo
Comentário: nesses três fatores primos relevantes aparecem os primos
,
e
. Para o MMC devemos pegar, para cada primo, a maior potência que aparece entre as fatorações.
Passo 4
Construir o MMC tomando as maiores potências de cada primo:
- Para o primo
: as potências observadas são em , em e em . A maior potência é . - Para o primo
: as potências observadas são em , em e em . A maior potência é . - Para o primo
: as potências observadas são em , em e em . A maior potência é .
Portanto o MMC é
Passo 5
Calcular numericamente o MMC passo a passo (mostrando contas fáceis de fazer sem calculadora):
- Calcular
. - Calcular
. - Multiplicar
. - Multiplicar
.
Logo
Passo 6
Converter
segundos para minutos: como
minuto tem
segundos,
Portanto os instantes em que as três lâmpadas coincidem ocorrem a cada
minutos.
Passo 7
Verificação alternativa rápida (opção útil na prova): calcular MMC em duas etapas usando MMC de pares.
- Primeiro
(porque , , o menor comum múltiplo é ). - Depois
. Note que e . Pegando maiores potências dá . Mesmo resultado: segundos minutos. Isso confirma o cálculo.
Passo 8
Conclusão final: a lâmpada vermelha acende a cada
minutos, que corresponde à alternativa correta.
Resposta
b)
minutos