Determine o domínio D para as funções abaixo, escolhendo para D a maior região do plano x y na qual a expressão dada esteja definida. Em cada caso, desenhe D.
(iii) g(x, y)=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2};

Passo 1

O enunciado dá a função g(x,y)=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2} e pede para determinar o domínio D, escolhendo a maior região do plano xy onde a expressão está definida, e desenhar D.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma soma de duas raízes quadradas: \sqrt{x-1} e \sqrt{y-2}.
  • Queremos a maior região do plano (x,y) onde ambas as raízes são definidas simultaneamente.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (aula curtinha e prática): a raiz quadrada real \sqrt{t} só está definida quando o radicando t é maior ou igual a zero. Em símbolos:
\sqrt{t}\\ \text{está definida} \quad\Longleftrightarrow\quad t\ge 0.á
Isto é porque, no conjunto dos números reais, não existe raiz quadrada real de um número negativo.

Passo 3

Aplique a regra à primeira raiz \sqrt{x-1}. O radicando é x-1, então exigimos:
x-1 \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade:
x-1 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 1.
Portanto, para a primeira parcela estar definida precisamos ter x\ge 1.

Passo 4

Agora aplique a regra à segunda raiz \sqrt{y-2}. O radicando é y-2, então exigimos:
y-2 \ge 0.
Resolvendo:
y-2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y \ge 2.
Portanto, para a segunda parcela estar definida precisamos ter y\ge 2.

Passo 5

Como g(x,y) é a soma das duas raízes, ambas as condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Logo o domínio D é o conjunto de todos os pares (x,y) tais que simultaneamente x\ge 1 e y\ge 2.
Escrevendo isso de forma matemática:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 1,\; y\ge 2\}.
Outra forma muito prática de escrever é como produto cartesiano:
D=[1,\infty)\times[2,\infty).

Passo 6

Interpretação geométrica (para desenhar): D é a região do plano localizada à direita da reta vertical x=1 e acima da reta horizontal y=2. Ambas as retas pertencem ao domínio (ou seja, são incluídas), porque nas bordas as raízes ficam \sqrt{0}=0 e são válidas. O ponto (1,2) pertence ao domínio e dá g(1,2)=0+0=0.

Passo 7

Instruções simples para desenhar D na prova:
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Trace a reta vertical x=1 com linha contínua (não tracejada), porque a borda é incluída.
  • Trace a reta horizontal y=2 com linha contínua.
  • Sombreie a região que fica ao nordeste da interseção (ou seja, a região onde x é maior ou igual a 1 e y é maior ou igual a 2). Inclua as próprias retas no sombreado.
  • Marque o ponto (1,2) como exemplo de ponto do domínio.

Passo 8

Dicas rápidas para prova (amigo te lembra com carinho):
  • Sempre que aparecer uma soma, produto, etc., de expressões, o domínio é a interseção dos domínios de cada expressão componente. Aqui, dom( \sqrt{x-1}) é [1,\infty)\times\mathbb{R} e dom( \sqrt{y-2}) é \mathbb{R}\times[2,\infty). A interseção dá [1,\infty)\times[2,\infty).
  • Teste pontos simples para checar: (2,3) está em D (ok), (0,3) não está (porque x<1), (1,1) não está (porque y<2).

Resposta

D=[1,\infty)\times[2,\infty)

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