Determine o domínio
para as funções abaixo, escolhendo para
a maior região do plano
na qual a expressão dada esteja definida. Em cada caso, desenhe
.
(iii)
;
(iii)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o domínio
, escolhendo a maior região do plano
onde a expressão está definida, e desenhar
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma soma de duas raízes quadradas:
e . - Queremos a maior região do plano
onde ambas as raízes são definidas simultaneamente.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (aula curtinha e prática): a raiz quadrada real
só está definida quando o radicando
é maior ou igual a zero. Em símbolos:
Isto é porque, no conjunto dos números reais, não existe raiz quadrada real de um número negativo.
Passo 3
Aplique a regra à primeira raiz
. O radicando é
, então exigimos:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, para a primeira parcela estar definida precisamos ter
.
Passo 4
Agora aplique a regra à segunda raiz
. O radicando é
, então exigimos:
Resolvendo:
Portanto, para a segunda parcela estar definida precisamos ter
.
Passo 5
Como
é a soma das duas raízes, ambas as condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Logo o domínio
é o conjunto de todos os pares
tais que simultaneamente
e
.
Escrevendo isso de forma matemática:
Outra forma muito prática de escrever é como produto cartesiano:
Passo 6
Interpretação geométrica (para desenhar):
é a região do plano localizada à direita da reta vertical
e acima da reta horizontal
. Ambas as retas pertencem ao domínio (ou seja, são incluídas), porque nas bordas as raízes ficam
e são válidas. O ponto
pertence ao domínio e dá
.
Passo 7
Instruções simples para desenhar
na prova:
- Desenhe os eixos
e . - Trace a reta vertical
com linha contínua (não tracejada), porque a borda é incluída. - Trace a reta horizontal
com linha contínua. - Sombreie a região que fica ao nordeste da interseção (ou seja, a região onde
é maior ou igual a e é maior ou igual a ). Inclua as próprias retas no sombreado. - Marque o ponto
como exemplo de ponto do domínio.
Passo 8
Dicas rápidas para prova (amigo te lembra com carinho):
- Sempre que aparecer uma soma, produto, etc., de expressões, o domínio é a interseção dos domínios de cada expressão componente. Aqui, dom(
) é e dom( ) é . A interseção dá . - Teste pontos simples para checar:
está em (ok), não está (porque ), não está (porque ).