Para cada uma das funções lineares T abaixo encontre a matriz A tal que T(x)=A x :
a) T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} ; T(x)=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{1}-2 x_{2}\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede a matriz A de uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}, \quad T\bigl((x_{1},x_{2})\bigr) =\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{1}-2x_{2}\end{pmatrix}
na base canônica de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}. Para isso, sabemos que as colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^{2}, ou seja, T(e_{1}) e T(e_{2}).

Passo 2

Calculamos as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^{2}:
e_{1}=(1,0),\quad T(e_{1})=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1-2\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
e_{2}=(0,1),\quad T(e_{2})=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0-2\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.
Logo, a matriz A que representa T na base canônica tem como colunas T(e_{1}) e T(e_{2}).

Resposta

A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix}.

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