Para cada uma das funções lineares T abaixo encontre a matriz A tal que T(x)=A x :
d) T: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} ; T(x)=\left(\begin{array}{c}x \\\\ 2 x \\\\ -x\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede a matriz A que representa a transformação linear
T\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^3,\qquad T(x)=\begin{pmatrix}x\\\ 2x\\\ -x\end{pmatrix},
ou seja, queremos A tal que T(x)=A\,x. O conteúdo envolvido é a representação matricial de transformações lineares em bases canônicas.

Passo 2

Para uma transformação T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, a matriz A na base canônica tem como colunas os vetores T(e_i). Aqui n=1, a base canônica de \mathbb{R} é \{1\}, logo basta calcular
T(1)=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.
Esse será o único vetor-coluna de A.

Passo 3

Portanto a matriz A (de tamanho 3\times1) é justamente
A = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

A=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.

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