Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} a função linear que leva o vetor nulo no vetor nulo e gira cada vetor não-nulo de \mathbb{R}^{2} no sentido horário por um ângulo \theta\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right). Encontre T(x) para cada x \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
\;T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2
que gira todo vetor não-nulo em \mathbb{R}^2 no sentido horário por um ângulo \theta (com 0<\theta<\tfrac\pi2) e satisfaz T(0)=0.
Para achar T(x) precisamos usar que toda transformação linear em \mathbb{R}^2 é dada por multiplicação de um vetor pelos seus valores em uma base, tipicamente a base canônica \{e_1,e_2\}.

Passo 2

Calculemos primeiro as imagens dos vetores da base canônica
e_1 = (1,0) e e_2 = (0,1) sob a rotação horária de ângulo \theta.
T(e_1)=(\cos\theta,\,-\sin\theta), \qquad T(e_2)=(\sin\theta,\;\cos\theta).
Daí a matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\[6pt] -\,\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},
pois suas colunas são T(e_1) e T(e_2).]

Passo 3

Seja x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2. Pela linearidade,
T(x) \;=\; A \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\[4pt] -\,\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} x_1\cos\theta + x_2\sin\theta \\[4pt] -\,x_1\sin\theta + x_2\cos\theta \end{pmatrix}.]

Resposta

T(x) = \bigl(x_1\cos\theta + x_2\sin\theta,\;-\,x_1\sin\theta + x_2\cos\theta\bigr).

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