Para cada uma das funções quadráticas abaixo, determine concavidade, vértice e raízes (se existirem):
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função quadrática
:
- Determinar a concavidade da parábola.
- Determinar o vértice da parábola.
- Determinar as raízes (zeros) da função, se existirem.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- Coeficiente quadrático:
. - Coeficiente linear:
. - Termo constante:
.
Passo 2
Concavidade: o sinal do coeficiente
determina se a parábola abre para cima ou para baixo.
- Regra: se
então a parábola é côncava para cima (tem um mínimo); se então é côncava para baixo (tem um máximo).
Aqui. Logo a parábola é côncava para cima (tem um vértice que é mínimo).
Passo 3
Ensinando a achar o vértice por completamento de quadrado (método que dá a forma canônica da parábola).
- Começamos com
. - Extraímos ou completamos o quadrado no termo quadrático e linear:
- Substituindo em
:
- A forma
mostra imediatamente que a parábola está deslocada para a direita de unidades e para baixo de unidade; portanto o vértice está em e .
Observação adicional (fórmula geral do vértice): para uma função
obtém-se
Aqui essa fórmula daria
, em acordo com o completamento de quadrado.
Passo 4
Cálculo explícito do vértice:
- Já achamos
. - Calculando
:
Portanto o vértice é
.
Passo 5
Agora as raízes: explicando o método do discriminante e da fórmula quadrática.
- A fórmula quadrática diz que as raízes de
são
onde
(discriminante) indica:
- se
: duas raízes reais distintas; - se
: uma raiz real dupla; - se
: nenhuma raiz real (raízes complexas).
Passo 6
Cálculo do discriminante e das raízes para nossa função:
- Calcula-se
. - Como
, existem duas raízes reais distintas. - Aplicando a fórmula:
- Assim as raízes são
Passo 7
Verificação por fatoração (opcional, mas didático):
- Como as raízes são
e , a fatoração é
- Expandindo:
, que confirma a função original.
Passo 8
Observação final útil para prova: a abscissa do vértice (
) é exatamente a média das raízes
. Isso acontece sempre em parábolas com coeficiente quadrático real: o eixo de simetria passa pelo ponto médio entre as raízes.
Resposta
Concavidade:
Vértice:
Raízes: e
Vértice:
Raízes: