Para cada uma das funções quadráticas abaixo, determine concavidade, vértice e raízes (se existirem):
f(x)=x^{2}-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função quadrática f(x)=x^{2}-4x+3:
  • Determinar a concavidade da parábola.
  • Determinar o vértice da parábola.
  • Determinar as raízes (zeros) da função, se existirem.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • Coeficiente quadrático: a=1.
  • Coeficiente linear: b=-4.
  • Termo constante: c=3.

Passo 2

Concavidade: o sinal do coeficiente a determina se a parábola abre para cima ou para baixo.
  • Regra: se \,a>0 então a parábola é côncava para cima (tem um mínimo); se \,a<0 então é côncava para baixo (tem um máximo).
    Aqui \,a=1>0. Logo a parábola é côncava para cima (tem um vértice que é mínimo).

Passo 3

Ensinando a achar o vértice por completamento de quadrado (método que dá a forma canônica da parábola).
  • Começamos com f(x)=x^{2}-4x+3.
  • Extraímos ou completamos o quadrado no termo quadrático e linear:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
  • Substituindo em f:
f(x)=(x-2)^{2}-4+3=(x-2)^{2}-1.
  • A forma (x-2)^{2}-1 mostra imediatamente que a parábola está deslocada para a direita de 2 unidades e para baixo de 1 unidade; portanto o vértice está em x=2 e y=-1.
Observação adicional (fórmula geral do vértice): para uma função f(x)=ax^{2}+bx+c obtém-se
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a}, \qquad y_{\text{v}}=f\!\left(-\frac{b}{2a}\right).
Aqui essa fórmula daria x_{\text{v}}=-\dfrac{-4}{2\cdot1}=2, em acordo com o completamento de quadrado.

Passo 4

Cálculo explícito do vértice:
  • Já achamos x_{\text{v}}=2.
  • Calculando y_{\text{v}}=f(2):
f(2)=2^{2}-4\cdot2+3=4-8+3=-1.
Portanto o vértice é (2,-1).

Passo 5

Agora as raízes: explicando o método do discriminante e da fórmula quadrática.
  • A fórmula quadrática diz que as raízes de ax^{2}+bx+c=0 são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac
onde \Delta (discriminante) indica:
  • se \Delta>0: duas raízes reais distintas;
  • se \Delta=0: uma raiz real dupla;
  • se \Delta<0: nenhuma raiz real (raízes complexas).

Passo 6

Cálculo do discriminante e das raízes para nossa função:
  • Calcula-se \Delta=(-4)^{2}-4\cdot1\cdot3=16-12=4.
  • Como \Delta=4>0, existem duas raízes reais distintas.
  • Aplicando a fórmula:
x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}=\frac{4\pm2}{2}.
  • Assim as raízes são
x_{1}=\frac{4+2}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{4-2}{2}=1.

Passo 7

Verificação por fatoração (opcional, mas didático):
  • Como as raízes são 1 e 3, a fatoração é
f(x)=(x-1)(x-3).
  • Expandindo: (x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3, que confirma a função original.

Passo 8

Observação final útil para prova: a abscissa do vértice ( x=2) é exatamente a média das raízes \dfrac{1+3}{2}=2. Isso acontece sempre em parábolas com coeficiente quadrático real: o eixo de simetria passa pelo ponto médio entre as raízes.

Resposta

Concavidade: \text{para cima}
Vértice: (2,-1)
Raízes: x=1 e x=3

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