Para cada uma das funções quadráticas abaixo, determine concavidade, vértice e raízes (se existirem):
f(x)=2 x^{2}-5 x+2

Passo 1

O enunciado pede, para a função quadrática f(x)=2x^{2}-5x+2, que se determine:
  • a concavidade da parábola;
  • o vértice (coordenadas x e y);
  • as raízes (zeros) — se existirem.
Dados explícitos que vamos usar (peguei-os do enunciado):
  • coeficiente a=2,
  • coeficiente b=-5,
  • termo constante c=2.

Passo 2

Concavidade: para uma função quadrática geral f(x)=ax^{2}+bx+c o sinal de a determina a concavidade:
  • se a>0, a parábola é côncava para cima (abre como uma “U”);
  • se a<0, a parábola é côncava para baixo (abre como uma “∩”).
Aqui a=2 e 2>0, portanto a parábola é côncava para cima.

Passo 3

Como encontrar o vértice (abordagem algébrica completa, sem cálculo diferencial): o vértice da parábola é o ponto mínimo (se a>0) ou máximo (se a<0). Uma forma padrão de obter a abscissa do vértice é completar o quadrado ou usar a fórmula direta
x_{v}=-\frac{b}{2a}.
Explicando as letras: a, b e c são os coeficientes da função quadrática ax^{2}+bx+c. A razão dessa fórmula vem de reescrever a quadrática na forma canônica a(x-x_v)^{2}+y_v (completa o quadrado) ou de igualar a zero a derivada 2ax+b (se conhecer cálculo).
Aplicando aqui:
x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2\cdot 2}=\frac{5}{4}.

Passo 4

Agora calculamos a ordenada do vértice, isto é y_{v}=f(x_{v}). Substituímos x=\dfrac{5}{4} em f(x) e fazemos as contas passo a passo:
f\!\left(\frac{5}{4}\right)=2\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-5\left(\frac{5}{4}\right)+2.
Calcule cada termo:
\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16},\qquad 2\cdot\frac{25}{16}=\frac{50}{16}=\frac{25}{8},
-5\cdot\frac{5}{4}=-\frac{25}{4}=\,-\frac{100}{16}, \qquad 2=\frac{32}{16}.
Somando com denominador comum 16:
f\!\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{50-100+32}{16}=\frac{-18}{16}=-\frac{9}{8}.
Portanto o vértice é \left(\dfrac{5}{4},-\dfrac{9}{8}\right).

Passo 5

Raízes: para achar as raízes de uma quadrática ax^{2}+bx+c=0 usa-se a fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Interpretação do discriminante:
  • \Delta>0: duas raízes reais distintas;
  • \Delta=0: uma raiz real dupla (duas iguais);
  • \Delta<0: nenhuma raiz real (raízes complexas).
Aqui calculamos \Delta:
\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9.
Como \Delta=9>0, existem duas raízes reais distintas.

Passo 6

Aplicando a fórmula das raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 3}{4}.
Portanto as duas soluções são
x_{1}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2, \qquad x_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Verificação rápida por fatoração: como as raízes são x=2 e x=\tfrac{1}{2}, a função pode ser escrita (até um fator a) como
f(x)=2\left(x-2\right)\left(x-\tfrac{1}{2}\right).
Expandindo para conferir:
2\left(x^{2}-\frac{5}{2}x+1\right)=2x^{2}-5x+2,
que coincide com a função dada — checagem OK.

Resposta

Concavidade: côncava para cima (porque a=2>0).
Vértice: \left(\dfrac{5}{4},-\dfrac{9}{8}\right).
Raízes: x=2 e x=\dfrac{1}{2}.

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