Para cada uma das funções quadráticas abaixo, determine concavidade, vértice e raízes (se existirem):
Passo 1
O enunciado pede, para a função quadrática
, que se determine:
- a concavidade da parábola;
- o vértice (coordenadas
e ); - as raízes (zeros) — se existirem.
Dados explícitos que vamos usar (peguei-os do enunciado):
- coeficiente
, - coeficiente
, - termo constante
.
Passo 2
Concavidade: para uma função quadrática geral
o sinal de
determina a concavidade:
- se
, a parábola é côncava para cima (abre como uma “U”); - se
, a parábola é côncava para baixo (abre como uma “∩”).
Aqui
e
, portanto a parábola é côncava para cima.
Passo 3
Como encontrar o vértice (abordagem algébrica completa, sem cálculo diferencial): o vértice da parábola é o ponto mínimo (se
) ou máximo (se
). Uma forma padrão de obter a abscissa do vértice é completar o quadrado ou usar a fórmula direta
Explicando as letras:
,
e
são os coeficientes da função quadrática
. A razão dessa fórmula vem de reescrever a quadrática na forma canônica
(completa o quadrado) ou de igualar a zero a derivada
(se conhecer cálculo).
Aplicando aqui:
Passo 4
Agora calculamos a ordenada do vértice, isto é
. Substituímos
em
e fazemos as contas passo a passo:
Calcule cada termo:
Somando com denominador comum
:
Portanto o vértice é
.
Passo 5
Raízes: para achar as raízes de uma quadrática
usa-se a fórmula quadrática
onde o discriminante é
. Interpretação do discriminante:
-
: duas raízes reais distintas; -
: uma raiz real dupla (duas iguais); -
: nenhuma raiz real (raízes complexas).
Aqui calculamos
:
Como
, existem duas raízes reais distintas.
Passo 6
Aplicando a fórmula das raízes:
Portanto as duas soluções são
Passo 7
Verificação rápida por fatoração: como as raízes são
e
, a função pode ser escrita (até um fator
) como
Expandindo para conferir:
que coincide com a função dada — checagem OK.
Resposta
Concavidade: côncava para cima (porque
).
Vértice: .
Raízes: e
.
Vértice:
Raízes: