Determine os pontos de interseção com os eixos para cada uma das funções abaixo:
f(x)=-x^{2}+5 x-6

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os pontos de interseção com os eixos” para a função
f(x) = -x^{2} + 5x - 6.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão explícita da função é \,f(x) = -x^{2} + 5x - 6\,.
  • Precisamos encontrar:
    • o ponto de interseção com o eixo y (ou seja, o ponto onde x=0);
    • os pontos de interseção com o eixo x (ou seja, os pontos onde f(x)=0).

Passo 2

Entendendo a interseção com o eixo y.
Definição prática: o ponto de interseção com o eixo y é o ponto da forma (0,\,f(0)). Então basta calcular f(0).
Calculemos:
f(0) = -(0)^{2} + 5\cdot 0 - 6 = -6.
Portanto, o ponto de interseção com o eixo y é (0,-6).
Explicação didática curta: ao colocar x=0 eliminamos todos os termos que têm x e sobra o valor da ordenada no eixo y. Isso funciona para qualquer função: o intercepto em y é sempre f(0).

Passo 3

Entendendo as interseções com o eixo x.
Definição prática: interseções com o eixo x são os pontos onde a função vale zero, isto é, soluções da equação
f(x)=0.
No nosso caso isso significa resolver
-x^{2} + 5x - 6 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática por fatoração (método simples e rápido quando é possível). Primeiro fatoramos um -1 para trabalhar com coeficiente principal positivo:
-x^{2} + 5x - 6 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -(x^{2} - 5x + 6) = 0.
Assim basta resolver
x^{2} - 5x + 6 = 0.
Procura-se dois números cuja soma seja -5 e cujo produto seja +6. Esses números são -2 e -3, pois
(-2) + (-3) = -5,\qquad (-2)\cdot(-3)=6.
Logo a fatoração é
x^{2} - 5x + 6 = (x-2)(x-3).
Portanto as soluções da equação são obtidas impondo cada fator igual a zero:
x-2=0 \Rightarrow x=2,\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3.

Passo 5

Conclusão sobre os pontos no eixo x. Cada raiz x dá um ponto (x,0). Assim os pontos de interseção com o eixo x são (2,0) e (3,0).

Resposta

(0,-6)
(2,0)
(3,0)

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