Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função quadrática
:
- Esboçar o gráfico (desenho da parábola);
- Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis de
e de ).
Informações dadas (coeficientes que vamos usar):
-
, , .
Passo 2
Domínio: primeiro ponto fácil — polinômios estão definidos para todo número real.
Isto porque para qualquer calcula-se
sem problema (não há divisão por zero, raízes, logaritmos, etc.).
Portanto o domínio é (ou seja,
). Vou registrar isso agora e justificar a imagem depois, quando soubermos se a parábola tem mínimo ou máximo.
Isto porque para qualquer
Portanto o domínio é
Passo 3
Forma da parábola e vértice — duas formas de achar o vértice (vou mostrar as duas, escolhe a que achar mais confortável):
- Fórmula do eixo/abscissa do vértice: para
a abscissa do vértice é
Aqui,
- Completando quadrado para obter a forma vértice (forma canônica). Começo por fatorar
das duas primeiras parcelas:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo:
Distribuindo:
Essa é a forma vértice:
. Dela vemos diretamente o vértice:
- abscissa
, - ordenada
.
Portanto o vértice é.
Passo 4
Interpretação do sinal de
e da forma vértice: como
, a parábola abre para cima. Isso significa que o vértice é um ponto de mínimo absoluto. Pela forma vértice
nota-se que
para todo
, então o menor valor que
pode ter é
, e assim o menor valor de
é
. Logo a imagem (conjunto-valor) será todos os números a partir de
inclusive.
Portanto, a imagem é
.
Passo 5
Pontos notáveis para desenhar o esboço (úteis na prova para traçar a parábola com segurança):
- Vértice:
(peguei esse valor ao completar o quadrado / usar a fórmula do vértice). - Eixo de simetria: reta vertical
. - Interseção com o eixo
(quando ):
então ponto
.
- Para os zeros (interseções com o eixo
), resolvemos . Calcule o discriminante:
Como
há duas raízes reais:
Simplificando
e dividindo por
:
Valores aproximados para facilitar o esboço:
, então as raízes são aproximadamente
e
Passo 6
Descrevendo o esboço (como desenhar na prova sem régua complicada):
- Desenhe a reta de simetria vertical
. - Marque o vértice em
: é o ponto mais baixo. - Marque o ponto
(y-intercept) e os zeros em e . - Como a parábola abre para cima e é simétrica em relação a
, trace a curva suave passando pelos pontos marcados; para , .
Se for pedir uma visão rápida: o gráfico é uma parábola com mínimo em
, cortando o eixo
em
e o eixo
nos pontos
.
Passo 7
Resumo dos resultados importantes (para decorar e usar na prova):
- Vértice:
. - Eixo de simetria:
. - Abertura: para cima (porque
). - Zeros:
(aprox. e ). - Intercepto
: . - Domínio:
. - Imagem:
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: