Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
f(x)=2 x^{2}-4 x-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função quadrática f(x)=2x^{2}-4x-1:
  • Esboçar o gráfico (desenho da parábola);
  • Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis de x e de f(x)).
Informações dadas (coeficientes que vamos usar):
  • a=2, b=-4, c=-1.

Passo 2

Domínio: primeiro ponto fácil — polinômios estão definidos para todo número real.
Isto porque para qualquer x\in\mathbb{R} calcula-se 2x^{2}-4x-1 sem problema (não há divisão por zero, raízes, logaritmos, etc.).
Portanto o domínio é \mathbb{R} (ou seja, (-\infty,\infty)). Vou registrar isso agora e justificar a imagem depois, quando soubermos se a parábola tem mínimo ou máximo.

Passo 3

Forma da parábola e vértice — duas formas de achar o vértice (vou mostrar as duas, escolhe a que achar mais confortável):
  1. Fórmula do eixo/abscissa do vértice: para ax^2+bx+c a abscissa do vértice é
x_v = -\frac{b}{2a}.
Aqui,
x_v = -\frac{-4}{2\cdot 2} = \frac{4}{4}=1.
  1. Completando quadrado para obter a forma vértice (forma canônica). Começo por fatorar 2 das duas primeiras parcelas:
f(x)=2\bigl(x^{2}-2x\bigr)-1.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1. Substituindo:
f(x)=2\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)-1.
Distribuindo:
f(x)=2(x-1)^{2}-2-1=2(x-1)^{2}-3.
Essa é a forma vértice: f(x)=2(x-1)^{2}-3. Dela vemos diretamente o vértice:
  • abscissa x_v=1,
  • ordenada y_v=-3.
    Portanto o vértice é (1,-3).

Passo 4

Interpretação do sinal de a e da forma vértice: como a=2>0, a parábola abre para cima. Isso significa que o vértice é um ponto de mínimo absoluto. Pela forma vértice 2(x-1)^{2}-3 nota-se que (x-1)^{2}\ge 0 para todo x, então o menor valor que 2(x-1)^{2} pode ter é 0, e assim o menor valor de f(x) é -3. Logo a imagem (conjunto-valor) será todos os números a partir de -3 inclusive.
Portanto, a imagem é [ -3,\infty).

Passo 5

Pontos notáveis para desenhar o esboço (úteis na prova para traçar a parábola com segurança):
  • Vértice: (1,-3) (peguei esse valor ao completar o quadrado / usar a fórmula do vértice).
  • Eixo de simetria: reta vertical x=1.
  • Interseção com o eixo y (quando x=0):
f(0)=2\cdot 0^{2}-4\cdot 0-1=-1,
então ponto (0,-1).
  • Para os zeros (interseções com o eixo x), resolvemos 2x^{2}-4x-1=0. Calcule o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\cdot 2\cdot (-1)=16+8=24.
Como \Delta>0 há duas raízes reais:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{24}}{4}.
Simplificando \sqrt{24}=2\sqrt{6} e dividindo por 4:
x=\frac{4\pm 2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}.
Valores aproximados para facilitar o esboço: \sqrt{6}\approx 2{,}449, então as raízes são aproximadamente
x\approx 1+1{,}2247\approx 2{,}2247
e
x\approx 1-1{,}2247\approx -0{,}2247.

Passo 6

Descrevendo o esboço (como desenhar na prova sem régua complicada):
  • Desenhe a reta de simetria vertical x=1.
  • Marque o vértice em (1,-3): é o ponto mais baixo.
  • Marque o ponto (0,-1) (y-intercept) e os zeros em x\approx -0{,}2247 e x\approx 2{,}2247.
  • Como a parábola abre para cima e é simétrica em relação a x=1, trace a curva suave passando pelos pontos marcados; para x\to\pm\infty, f(x)\to+\infty.
Se for pedir uma visão rápida: o gráfico é uma parábola com mínimo em (1,-3), cortando o eixo y em (0,-1) e o eixo x nos pontos x=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}.

Passo 7

Resumo dos resultados importantes (para decorar e usar na prova):
  • Vértice: (1,-3).
  • Eixo de simetria: x=1.
  • Abertura: para cima (porque a=2>0).
  • Zeros: x=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2} (aprox. -0{,}2247 e 2{,}2247).
  • Intercepto y: (0,-1).
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Imagem: [ -3,\infty).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \left[-3,\infty\right)

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