Para cada uma das funções r(t) abaixo, determine o vetor velocidade, a velocidade escalar e o vetor aceleração.
r(t)=a t cos (omega t) i+a t sin (omega t) j+
b ln t k

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=a,tcos(omega t),i+a,tsin(omega t),j+bln t,k, t>0,
e pede: o vetor velocidade v(t)=dotr(t), a velocidade escalar |v(t)| e o vetor aceleração a(t)=dotv(t). Vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e que tfracddt(ln t)=1/t.

Passo 2

Derivando cada componente, obtemos
v(t)=dotr(t) = al(cos(omega t)-omega tsin(omega t)r),i + al(sin(omega t)+omega tcos(omega t)r),j + bt,k

Passo 3

A velocidade escalar é o módulo de v(t). Note que
l(cos(omega t)-omega tsin(omega t)r)^2 +l(sin(omega t)+omega tcos(omega t)r)^2 =1+omega^2t^2
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|v(t)| =raiza^2l(1+omega^2t^2r)+b^2t^2,

Passo 4

Derivando v(t) componente a componente, usando novamente produto e cadeia, e tfracddt(b/t)=-b/t^2, vem
a(t)=dotv(t) = al(-2omegasin(omega t)-omega^2tcos(omega t)r),i + al(2omegacos(omega t)-omega^2tsin(omega t)r),j - bt^2,k

Resposta

v(t)=al(cos(omega t)-omega tsin(omega t)r),i + al(sin(omega t)+omega tcos(omega t)r),j + bt,k
|v(t)|=raiza^2l(1+omega^2t^2r)+b^2t^2
a(t)=al(-2omegasin(omega t)-omega^2tcos(omega t)r),i + al(2omegacos(omega t)-omega^2tsin(omega t)r),j - bt^2,k

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