Calcule a derivada de cada função. Simplifique quando possível.
Forma organizada, indicando claramente os passos ut
y=sec ^-1(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = sec^-1(2x)
O conteúdo aqui é a derivada de função composta envolvendo a função arcsecante. Vamos usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada de sec^-1(u).

Passo 2

A fórmula geral para a derivada de y=sec^-1(u) em função de x é
dydx =u'l|ur|raizu^2-1,
onde u=u(x) e u'=dfracdudx. Essa fórmula exige |u|>1.

Passo 3

No nosso caso, u(x)=2x. Logo,
u'=ddx(2x)=2

Passo 4

Substituindo na fórmula:
dydx =2l|2xr|raiz(2x)^2-1 =22,|x|raiz4x^2-1 =1|x|raiz4x^2-1

Resposta

dydx =1|x|raiz4x^2-1, |x|>tfrac12

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