Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}, f^{\prime}(x) e f^{\prime}(0)

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
e pede f'(x) e f'(0).
Conteúdo envolvido: derivada de exponencial e regra do quociente.

Passo 2

Defina
u(x)=e^{x}-e^{-x},\quad v(x)=e^{x}+e^{-x}.
Então
u'(x)=e^{x}+e^{-x},\quad v'(x)=e^{x}-e^{-x}.
Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 3

Calcule o numerador:
u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x) =(e^{x}+e^{-x})(e^{x}+e^{-x}) -(e^{x}-e^{-x})(e^{x}-e^{-x}).
Reconheça a identidade (a+b)^2-(a-b)^2=4ab com a=e^x, b=e^{-x}:
(e^{x}+e^{-x})^2-(e^{x}-e^{-x})^2 =4\,e^{x}\,e^{-x} =4.

Passo 4

Substituindo no quociente,
f'(x) =\frac{4}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^2}.

Passo 5

Para x=0 temos e^0=1, logo
f'(0) =\frac{4}{(1+1)^2} =\frac{4}{4} =1.

Resposta

f'(x)=\displaystyle\frac{4}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^2}
f'(0)=1

Exercícios relacionados