Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
f(x)=\ln \left(\sqrt{\frac{1+\operatorname{sen} x}{1-\operatorname{sen} x}}\right), f^{\prime}(x) e f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\!\Bigl(\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\Bigr)
e pede sua derivada f'(x) e o valor f'\bigl(\tfrac\pi4\bigr).
Conteúdo envolvido: propriedades de logaritmo, simplificação algébrica e regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Usamos a identidade \ln\sqrt{A}=\tfrac12\ln A. Aqui A=(1+\sin x)/(1-\sin x), então
f(x) =\tfrac12\ln\!\Bigl(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\Bigr) =\tfrac12\bigl[\ln(1+\sin x)-\ln(1-\sin x)\bigr].

Passo 3

Derivando termo a termo por regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln(1+\sin x)=\frac{\cos x}{1+\sin x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln(1-\sin x)=\frac{-\cos x}{1-\sin x}.
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f'(x) =\tfrac12\Bigl(\frac{\cos x}{1+\sin x}-\bigl(-\tfrac{\cos x}{1-\sin x}\bigr)\Bigr) =\tfrac12\Bigl(\frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{\cos x}{1-\sin x}\Bigr).

Passo 4

Somando as frações em evidência \cos x:
f'(x) =\frac{\cos x}{2}\,\frac{(1-\sin x)+(1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)} =\frac{\cos x}{2}\,\frac{2}{1-\sin^2 x} =\frac{\cos x}{\cos^2 x} =\frac1{\cos x} =\operatorname{sec} x.

Passo 5

Basta avaliar em x=\tfrac\pi4:
f'\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =\frac1{\cos(\tfrac\pi4)} =\frac1{\tfrac{\sqrt2}{2}} =\sqrt2.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec} x
f'\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=\sqrt2

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