Determine a derivada das funções a seguir:
y=\frac{1}{\left(x^{2}-x\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{1}{\bigl(x^{2}-x\bigr)^{2}}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia (chain rule) e a regra de potência (power rule). Vamos precisar reconhecer que podemos reescrever a função como uma potência para aplicar essas regras.

Passo 2

Reescrevemos a função na forma de potência negativa. Defina
u = x^{2}-x,
então
y = \frac{1}{u^{2}} = u^{-2}.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência combinada com a regra da cadeia. Primeiro calculamos
\frac{dy}{du} = -2\,u^{-3}
pela regra de potência, e também
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x\bigr) = 2x - 1.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = \bigl(-2\,u^{-3}\bigr)\,(2x-1).
Voltando a u = x^{2}-x, fica
\frac{dy}{dx} = -2\,(2x-1)\,(x^{2}-x)^{-3} = \frac{-2\,(2x-1)}{(x^{2}-x)^{3}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{-2\,(2x-1)}{(x^{2}-x)^{3}}.

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