Para cada uma das funções a seguir determine
h(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{1-\cos x}
e pede para reescrevê-la de forma mais simples. O conteúdo principal aqui são as fórmulas de ângulo metade em trigonometria.

Passo 2

Usamos as identidades de ângulo metade:
\operatorname{sen} x = 2\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac x2\bigr)\cos\bigl(\tfrac x2\bigr), \qquad 1-\cos x = 2\,\operatorname{sen}^2\bigl(\tfrac x2\bigr).

Passo 3

Substituindo em h(x):
h(x) = \frac{2\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac x2\bigr)\cos\bigl(\tfrac x2\bigr)}{2\,\operatorname{sen}^2\bigl(\tfrac x2\bigr)} = \frac{\cos\bigl(\tfrac x2\bigr)}{\operatorname{sen}\bigl(\tfrac x2\bigr)} = \cot\bigl(\tfrac x2\bigr).

Passo 4

Devemos garantir que o denominador original não zere:
1-\cos x\neq0\;\Rightarrow\;\cos x\neq1\;\Rightarrow\;x\neq2k\pi.
Isso coincide com a condição \operatorname{sen}(\tfrac x2)\neq0, pois \operatorname{sen}(\tfrac x2)=0 também dá x=2k\pi.

Resposta

h(x)=\cot\bigl(\tfrac x2\bigr), \quad x\neq2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.

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