Verifique se a função
é invertível. Em caso afirmativo, determine sua inversa
, bem como
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se ela é invertível, achar
, além de determinar
,
, calcular
e
. Vamos usar conceitos de domínio de frações racionais, monotonicidade (via derivada) para invertibilidade e resolução de equação para obter a inversa.
Passo 2
Primeiro, o domínio de
é todo
que não anule o denominador:
Portanto
.
Para ver que é injetora, calculamos a derivada:
.
Para ver que
Como
é sempre positiva em
,
é estritamente crescente e logo invertível.
Passo 3
Para achar
, escrevemos
e resolvemos para
:
Trocando
por
, obtemos
Passo 4
A imagem de
é o conjunto de todos os valores
para os quais
faz sentido, ou seja,
. Logo
Passo 5
Agora calculamos
Passo 6
Por fim, o inverso multiplicativo de
é simplesmente