Verifique se a função f(x)=\frac{x-1}{2 x+7} é invertível. Em caso afirmativo, determine sua inversa f^{-1}(x), bem como \operatorname{Dom}(f), \operatorname{Im}(f), f\left(\frac{1}{x}\right) e (f(x))^{-1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x-1}{2x+7}
e pede para verificar se ela é invertível, achar f^{-1}(x), além de determinar \Dom(f), \Im(f), calcular f\bigl(\tfrac1x\bigr) e (f(x))^{-1}. Vamos usar conceitos de domínio de frações racionais, monotonicidade (via derivada) para invertibilidade e resolução de equação para obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, o domínio de f é todo x que não anule o denominador:
2x+7\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq -\tfrac72
Portanto
\Dom(f)=\mathbb{R}\setminus\{-\tfrac72\}.
Para ver que f é injetora, calculamos a derivada:
f'(x) =\frac{(2x+7)\cdot1 - (x-1)\cdot2}{(2x+7)^2} =\frac{2x+7 -2x+2}{(2x+7)^2} =\frac{9}{(2x+7)^2}>0.
Como f' é sempre positiva em \Dom(f), f é estritamente crescente e logo invertível.

Passo 3

Para achar f^{-1}, escrevemos y=\frac{x-1}{2x+7} e resolvemos para x:
y(2x+7)=x-1 \quad\Longrightarrow\quad 2yx+7y=x-1 \quad\Longrightarrow\quad x(2y-1)=-1-7y \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-1-7y}{2y-1}.
Trocando y por x, obtemos
f^{-1}(x)=\frac{-7x-1}{2x-1}.

Passo 4

A imagem de f é o conjunto de todos os valores y para os quais f^{-1}(y) faz sentido, ou seja, 2y-1\neq0. Logo
\Im(f)=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac12\}.

Passo 5

Agora calculamos
f\bigl(\tfrac1x\bigr) =\frac{\tfrac1x -1}{2\bigl(\tfrac1x\bigr)+7} =\frac{\tfrac{1-x}{x}}{\tfrac{2+7x}{x}} =\frac{1-x}{2+7x}.

Passo 6

Por fim, o inverso multiplicativo de f(x) é simplesmente
(f(x))^{-1} =\frac{1}{\frac{x-1}{2x+7}} =\frac{2x+7}{x-1}.

Resposta

\boxed{\text{Invertível com }f^{-1}(x)=\frac{-7x-1}{2x-1},\;\Dom(f)=\mathbb{R}\setminus\{-\tfrac72\},\;\Im(f)=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac12\},\;f\bigl(\tfrac1x\bigr)=\frac{1-x}{2+7x},\;(f(x))^{-1}=\frac{2x+7}{x-1}.}

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