Em cada uma das funções a seguir, determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimo locais, ou como pontos de sela, quando for o caso. h(x, y)=y^{2}-x^{2}+2 x+4 y-4;
Passo 1
O enunciado pede que eu determine os pontos estacionários da função
h(x,y)=y^{2}-x^{2}+2x+4y-4
e que eu classifique cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes dadas: a função explícita h(x,y) em duas variáveis. Não há restrições no domínio, então consideramos (x,y)\in\mathbb{R}^2. A tarefa é: (1) encontrar pontos onde o gradiente é nulo (pontos estacionários) e (2) usar a segunda derivada (Hessiana) para classificar esses pontos.
Passo 2
O que é um ponto estacionário? É um ponto onde as derivadas parciais de primeira ordem são zero. O gradiente de h é o vetor das derivadas parciais:
Vou calcular cada derivada parcial passo a passo (lembre que ao derivar parcialmente em relação a x trato y como constante, e vice-versa).
Derivada parcial em relação a x:
Derivada de -x^{2} em relação a x é -2x.
Derivada de 2x em relação a x é 2.
Termos y^{2}, 4y e -4 são constantes em x, então derivam para 0.
Portanto
\frac{\partial h}{\partial x}=-2x+2.
Derivada parcial em relação a y:
Derivada de y^{2} em relação a y é 2y.
Derivada de 4y em relação a y é 4.
Termos que dependem só de x ou constantes derivam para 0.
Portanto
\frac{\partial h}{\partial y}=2y+4.
Passo 3
Agora faço \nabla h(x,y)=0\), isto é resolvo o sistema
\[\begin{cases} -2x+2=0,\\[4pt] 2y+4=0. \end{cases}
Resolve cada equação:
-2x+2=0 \implies -2x=-2 \implies x=1,
2y+4=0 \implies 2y=-4 \implies y=-2.
Logo existe um único ponto estacionário: ((1,-2)].]
Passo 4
Para classificar o ponto estacionário usamos as derivadas parciais de segunda ordem (elementos da matriz Hessiana). Em duas variáveis a matriz Hessiana é
A regra prática (teste da segunda derivada) em duas variáveis é:
Calcular D = h_{xx}\,h_{yy} - (h_{xy})^{2} no ponto.
Se D>0 e h_{xx}>0 então é mínimo local.
Se D>0 e h_{xx}<0 então é máximo local.
Se D<0 então é ponto de sela.
Se D=0 o teste é inconclusivo.
Aqui eu explico o que cada termo significa: h_{xx} é a curvatura da função na direção x (se é côncava para cima ou para baixo), h_{yy} é a curvatura na direção y, e h_{xy} mede interação entre as direções.]
Como D=-4<0, pelo teste da segunda derivada concluímos que o ponto (1,-2) é um ponto de sela.
Passo 6
Uma forma alternativa e bem intuitiva de ver isso (útil na prova): completar quadrados para reescrever h. Faço isso para visualizar a forma da superfície:
h(x,y)=y^{2}+4y \;-\;x^{2}+2x \;-\;4.
Complete os quadrados em y e em x:
y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4,
-x^{2}+2x=-(x^{2}-2x)=-(x-1)^{2}+1.
Somando tudo:
h(x,y)=(y+2)^{2} - (x-1)^{2} -7.
Essa forma mostra claramente que h é diferença de um quadrado em y e um quadrado em x: ao mover-se na direção y a função sobe (comportamento como mínimo), e ao mover-se na direção x a função desce (comportamento como máximo), característico de um ponto de sela. No ponto crítico (1,-2) o valor é
h(1,-2) = -7,
mas o valor numérico não altera a classificação — apenas confirma a posição do ponto.