1. A solução da Equação da Onda a seguir
v^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
que serve para descrever o movimento vibracional em uma corda esticada e presa pelas extremidades, pode ser descrita por
y(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left\{A_{n} \cos \left(\frac{n \pi v}{L} t\right)+B_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi v}{L} t\right)\right\} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right)
pois satisfaz as condições de contorno: y(x=0, t)=0 e y(x=L, t)=0, para t>0. (a) Determine os valores dos coeficientes A_{n} e B_{n} no caso em que as condições iniciais são descritas por:
y(x, t=0)=f(x) \mathrm{e} \frac{\partial y}{\partial t}(x, t=0)=g(x), \text { para } 0<x<L
com
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x-0,0 \leq x<0.5 \\\\ 1-x, 0.5 \leq x<1 \end{array}\right.
e
g(x)=0
Considere L=1 \mathrm{~m} e v=880 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(b) Calcule a frequência fundamental e compare com a escala musical em instrumentos de cordas.
Observação: Basicamente existem sete notas musicais, que são chamadas notas harmônicas, cada uma com sua respectiva freqüência de vibração.
São elas:
Notas Freqüências
261,63 \mathrm{~Hz}
293,66 \mathrm{~Hz}
Mi 329,63 \mathrm{~Hz}
349,23 \mathrm{~Hz}
Sol 391,99 \mathrm{~Hz}
440,00 \mathrm{~Hz}
Si 493,88 \mathrm{~Hz}
Após a nota Si , as nota se repetem, ou seja, após a nota Si , vem a nota Dó, cuja freqüência será o dobro da apresentada na tabela acima, ou seja, 523,26 \mathrm{~Hz}. O Intervalo entre uma nota e a sua primeira repetição acima ou abaixo, é chamado de oitava.
(c) Na cultura ocidental, também usamos uma escala com doze notas. A música árabe usa uma escala com 16 notas e a música indiana, com 22 notas. As escalas usadas hoje em dia tem uma frequência básica (440 \mathrm{~Hz}) e, a partir desta, as demais notas são obtidas pela multiplicação ou divisão da nota anterior por um fator constante como em uma progressão geométrica. Identifique a relação matemática entre as notas da tabela acima.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A equação da onda
v^{2}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}
e a solução em série de modos normais
y(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left\{A_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi v}{L}t\right)+B_{n}\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi v}{L}t\right)\right\}\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
  • Condições de contorno: y(0,t)=0\) e \(y(L,t)=0\) (já satisfeitas pela forma da série). - Condições iniciais pedidas: \[y(x,0)=f(x),\qquad \frac{\partial y}{\partial t}(x,0)=g(x),\quad 0<x<L,
com
f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x<\tfrac12,\\[4pt] 1-x, & \tfrac12\le x<1, \end{cases} \qquad g(x)=0.
  • Valores numéricos: L=1\\ \mathrm{m}\] e \(v=880\\ \mathrm{m/s}.
  • A tabela de notas musicais e suas frequências foi fornecida no enunciado (vou usar a informação da tabela quando comparar frequências).
    O que o enunciado pede:
    (a) Determine os coeficientes A_{n} e B_{n} para essas condições iniciais.
    (b) Calcule a frequência fundamental e compare com a escala musical (usar os dados da tabela).
    (c) Identifique a relação matemática entre as notas (a regra da escala usada hoje em dia).]

Passo 2

Conceito chave usado (explicação didática, sem pular etapas):
  • As funções \{\operatorname{sen}(n\pi x/L)\}_{n=1}^{\infty} formam um sistema ortogonal em (0,L). A ortogonalidade significa, para m\neq n,
\int_{0}^{L}\operatorname{sen}\!\left(\frac{m\pi}{L}x\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx=0,
e para m=n,
\int_{0}^{L}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx=\frac{L}{2}.
  • Por isso, se
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right),
os coeficientes A_{n} são obtidos projetando f sobre cada seno:
A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.
  • Para a velocidade inicial, derivando a solução em t temos (com \omega_{n}=\dfrac{n\pi v}{L})
\frac{\partial y}{\partial t}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[-A_{n}\omega_{n}\operatorname{sen}(\omega_{n}t)+B_{n}\omega_{n}\cos(\omega_{n}t)\right]\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Em t=0 isso vira
\frac{\partial y}{\partial t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\omega_{n}\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Logo os coeficientes B_{n} podem ser obtidos como a série de g(x) dividida por \omega_n:
B_{n}=\frac{2}{L\,\omega_{n}}\int_{0}^{L}g(x)\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.
Isso é a receita: calcular as integrais apropriadas.

Passo 3

Aplicando as fórmulas às condições iniciais dadas:
  • Como g(x)=0 para todo x\in(0,L), a projeção de g sobre qualquer seno é zero. Portanto, para todos n,
B_{n}=0.
Comentário amigo: isto significa que não há componente senoidal em tempo inicial — a corda é solta com velocidade zero e só inicia com deslocamento f(x).

Passo 4

Agora vamos calcular A_{n}. Usamos L=1 (simplifica muito), então
A_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\operatorname{sen}(n\pi x)\,dx,
onde escrevi n\pi/L = n\pi porque L=1. Como f é definida por partes em 0 a 1/2 e 1/2 a 1, separamos a integral:
A_{n}=2\left[\int_{0}^{1/2} x\operatorname{sen}(n\pi x)\,dx + \int_{1/2}^{1} (1-x)\operatorname{sen}(n\pi x)\,dx\right].
Vou calcular cada integral com cuidado (integração por partes), explicando passo a passo.

Passo 5

Cálculo da primeira integral
I_{1}=\int_{0}^{1/2} x\operatorname{sen}(kx)\,dx,\qquad k:=n\pi.
Fazemos integração por partes escolhendo u=x e dv=\operatorname{sen}(kx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}. Assim
I_{1}=\left.-\frac{x\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{1/2}+\frac{1}{k}\int_{0}^{1/2}\cos(kx)\,dx.
A integral restante é \dfrac{\sin(kx)}{k}, então
I_{1}=-\frac{(1/2)\cos(k/2)}{k}+\frac{\sin(k/2)}{k^{2}} - \big(0\big).
Portanto
I_{1}=-\frac{\cos\!\left(\dfrac{k}{2}\right)}{2k}+\frac{\sin\!\left(\dfrac{k}{2}\right)}{k^{2}}.

Passo 6

Cálculo da segunda integral
I_{2}=\int_{1/2}^{1} (1-x)\operatorname{sen}(kx)\,dx.
Uma estratégia prática: escrever 1-x como 1-x e separar
I_{2}=\int_{1/2}^{1}\operatorname{sen}(kx)\,dx - \int_{1/2}^{1} x\operatorname{sen}(kx)\,dx.
A primeira parte é \left[-\dfrac{\cos(kx)}{k}\right]_{1/2}^{1}=-\dfrac{\cos(k)}{k}+\dfrac{\cos(k/2)}{k}.
A segunda parte já temos a primitiva de x\operatorname{sen}(kx) da integração por partes do passo anterior (a primitiva é -\dfrac{x\cos(kx)}{k}+\dfrac{\sin(kx)}{k^{2}}). Avaliando de 1/2 a 1 obtemos
\int_{1/2}^{1} x\operatorname{sen}(kx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(kx)}{k}+\frac{\sin(kx)}{k^{2}}\right]_{1/2}^{1}.
Subtraindo, após simplificar (fazer as contas com calma) chega-se a
I_{2}=-\frac{\sin(k)}{k^{2}}+\frac{\cos(k/2)}{2k}+\frac{\sin(k/2)}{k^{2}}.
Se você quiser conferir, pode substituir passo a passo os limites. Aqui eu já juntei termos semelhantes.

Passo 7

Somando I_{1}+I_{2}:
I_{1}+I_{2}=\left(-\frac{\cos(k/2)}{2k}+\frac{\sin(k/2)}{k^{2}}\right)+\left(-\frac{\sin(k)}{k^{2}}+\frac{\cos(k/2)}{2k}+\frac{\sin(k/2)}{k^{2}}\right).
Os termos com \cos(k/2)/(2k) se cancelam; os termos com \sin(k/2)/k^{2} somam para 2\sin(k/2)/k^{2}. Assim
I_{1}+I_{2}=\frac{2\sin(k/2)-\sin(k)}{k^{2}}.
Lembrando que A_{n}=2(I_{1}+I_{2}), obtemos
A_{n}=2\cdot\frac{2\sin(k/2)-\sin(k)}{k^{2}}=\frac{4\sin(k/2)-2\sin(k)}{k^{2}}.

Passo 8

Simplificação final usando k=n\pi:
  • Observação importante: \sin(n\pi)=0 para qualquer inteiro n. Então o termo -2\sin(k) desaparece.
  • Substituindo k=n\pi e simplificando:
A_{n}=\frac{4\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{(n\pi)^{2}}=\frac{4\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^{2}\pi^{2}}.
Portanto, os coeficientes ficam
A_{n}=\frac{4\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^{2}\pi^{2}},\qquad B_{n}=0.
Comentário didático: \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) é zero para n par, e para n ímpar alterna sinais: para n=1 vale +1, n=3 vale -1, n=5 vale +1, etc. Logo só os modos ímpares aparecem (com decaimento em 1/n^{2}), e com sinais alternados.

Passo 9

Parte (b) — frequência fundamental:
  • A pulsação do modo n é \omega_{n}=\dfrac{n\pi v}{L}. A frequência em Hz é f_{n}=\dfrac{\omega_{n}}{2\pi}=\dfrac{n v}{2L}.
  • Para o modo fundamental ( n=1):
f_{1}=\frac{v}{2L}.
Com v=880\\ \mathrm{m/s} e L=1\\ \mathrm{m},
f_{1}=\frac{880}{2\cdot 1}=440\\ \mathrm{Hz}.
Comparação com a tabela (vou usar o valor da tabela dada no enunciado): a tabela dá ( \mathrm{A}) como 440{,}00\\ \mathrm{Hz}. Portanto a frequência fundamental da corda é exatamente 440\\ \mathrm{Hz}, ou seja, corresponde ao (note: isso é o padrão de afinação atual). Que sorte — a corda afina exatamente com o lá de concerto!

Passo 10

Parte (c) — relação matemática entre as notas:
  • A escala temperada usada hoje (escala com 12 notas por oitava) é construída multiplicando cada nota pela mesma razão geométrica entre semitons. Como uma oitava corresponde a duplicar a frequência, e há 12 semitons na oitava, a razão entre semitons é
r=2^{1/12}.
  • Assim, se tomarmos a referência 440\\ \mathrm{Hz} como uma nota (por exemplo o padrão), a frequência de uma nota m semitons acima é
f=440\cdot 2^{m/12},
com m\in\mathbb{Z}. Essa é uma progressão geométrica em que cada passo (um semitom) multiplica por 2^{1/12}. Essa fórmula explica a afirmação do enunciado sobre multiplicação por um fator constante.

Resposta

(a) A_{n}=\dfrac{4\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^{2}\pi^{2}},\quad B_{n}=0.
(b) f_{1}=\dfrac{v}{2L}=440\\ \mathrm{Hz} (corresponde ao , valor presente na tabela).
(c) Relação geométrica entre notas: razão por semitom r=2^{1/12}, e f=440\cdot 2^{m/12} para m semitons de diferença.

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