pois satisfaz as condições de contorno: y(x=0, t)=0 e y(x=L, t)=0, para t>0. (a) Determine os valores dos coeficientes A_{n} e B_{n} no caso em que as condições iniciais são descritas por:
Considere L=1 \mathrm{~m} e v=880 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(b) Calcule a frequência fundamental e compare com a escala musical em instrumentos de cordas.
Observação: Basicamente existem sete notas musicais, que são chamadas notas harmônicas, cada uma com sua respectiva freqüência de vibração.
São elas:
Notas
Freqüências
Dó
261,63 \mathrm{~Hz}
Ré
293,66 \mathrm{~Hz}
Mi
329,63 \mathrm{~Hz}
Fá
349,23 \mathrm{~Hz}
Sol
391,99 \mathrm{~Hz}
Lá
440,00 \mathrm{~Hz}
Si
493,88 \mathrm{~Hz}
Após a nota Si , as nota se repetem, ou seja, após a nota Si , vem a nota Dó, cuja freqüência será o dobro da apresentada na tabela acima, ou seja, 523,26 \mathrm{~Hz}. O Intervalo entre uma nota e a sua primeira repetição acima ou abaixo, é chamado de oitava.
(c) Na cultura ocidental, também usamos uma escala com doze notas. A música árabe usa uma escala com 16 notas e a música indiana, com 22 notas. As escalas usadas hoje em dia tem uma frequência básica (440 \mathrm{~Hz}) e, a partir desta, as demais notas são obtidas pela multiplicação ou divisão da nota anterior por um fator constante como em uma progressão geométrica. Identifique a relação matemática entre as notas da tabela acima.
Condições de contorno: y(0,t)=0\) e \(y(L,t)=0\) (já satisfeitas pela forma da série).
- Condições iniciais pedidas:
\[y(x,0)=f(x),\qquad \frac{\partial y}{\partial t}(x,0)=g(x),\quad 0<x<L,
Valores numéricos: L=1\\ \mathrm{m}\] e \(v=880\\ \mathrm{m/s}.
A tabela de notas musicais e suas frequências foi fornecida no enunciado (vou usar a informação da tabela quando comparar frequências).
O que o enunciado pede:
(a) Determine os coeficientes A_{n} e B_{n} para essas condições iniciais.
(b) Calcule a frequência fundamental e compare com a escala musical (usar os dados da tabela).
(c) Identifique a relação matemática entre as notas (a regra da escala usada hoje em dia).]
Passo 2
Conceito chave usado (explicação didática, sem pular etapas):
As funções \{\operatorname{sen}(n\pi x/L)\}_{n=1}^{\infty} formam um sistema ortogonal em (0,L). A ortogonalidade significa, para m\neq n,
Isso é a receita: calcular as integrais apropriadas.
Passo 3
Aplicando as fórmulas às condições iniciais dadas:
Como g(x)=0 para todo x\in(0,L), a projeção de g sobre qualquer seno é zero. Portanto, para todos n,
B_{n}=0.
Comentário amigo: isto significa que não há componente senoidal em tempo inicial — a corda é solta com velocidade zero e só inicia com deslocamento f(x).
Passo 4
Agora vamos calcular A_{n}. Usamos L=1 (simplifica muito), então
A primeira parte é \left[-\dfrac{\cos(kx)}{k}\right]_{1/2}^{1}=-\dfrac{\cos(k)}{k}+\dfrac{\cos(k/2)}{k}.
A segunda parte já temos a primitiva de x\operatorname{sen}(kx) da integração por partes do passo anterior (a primitiva é -\dfrac{x\cos(kx)}{k}+\dfrac{\sin(kx)}{k^{2}}). Avaliando de 1/2 a 1 obtemos
Comentário didático: \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) é zero para n par, e para n ímpar alterna sinais: para n=1 vale +1, n=3 vale -1, n=5 vale +1, etc. Logo só os modos ímpares aparecem (com decaimento em 1/n^{2}), e com sinais alternados.
Passo 9
Parte (b) — frequência fundamental:
A pulsação do modo n é \omega_{n}=\dfrac{n\pi v}{L}. A frequência em Hz é f_{n}=\dfrac{\omega_{n}}{2\pi}=\dfrac{n v}{2L}.
Para o modo fundamental (n=1):
f_{1}=\frac{v}{2L}.
Com v=880\\ \mathrm{m/s} e L=1\\ \mathrm{m},
f_{1}=\frac{880}{2\cdot 1}=440\\ \mathrm{Hz}.
Comparação com a tabela (vou usar o valor da tabela dada no enunciado): a tabela dá Lá (\mathrm{A}) como 440{,}00\\ \mathrm{Hz}. Portanto a frequência fundamental da corda é exatamente 440\\ \mathrm{Hz}, ou seja, corresponde ao Lá (note: isso é o padrão de afinação atual). Que sorte — a corda afina exatamente com o lá de concerto!
Passo 10
Parte (c) — relação matemática entre as notas:
A escala temperada usada hoje (escala com 12 notas por oitava) é construída multiplicando cada nota pela mesma razão geométrica entre semitons. Como uma oitava corresponde a duplicar a frequência, e há 12 semitons na oitava, a razão entre semitons é
r=2^{1/12}.
Assim, se tomarmos a referência 440\\ \mathrm{Hz} como uma nota (por exemplo o Lá padrão), a frequência de uma nota m semitons acima é
f=440\cdot 2^{m/12},
com m\in\mathbb{Z}. Essa é uma progressão geométrica em que cada passo (um semitom) multiplica por 2^{1/12}. Essa fórmula explica a afirmação do enunciado sobre multiplicação por um fator constante.
Resposta
(a) A_{n}=\dfrac{4\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^{2}\pi^{2}},\quad B_{n}=0.
(b) f_{1}=\dfrac{v}{2L}=440\\ \mathrm{Hz} (corresponde ao Lá, valor presente na tabela).
(c) Relação geométrica entre notas: razão por semitom r=2^{1/12}, e f=440\cdot 2^{m/12} para m semitons de diferença.