Considere k=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, m=4 \mathrm{~kg}, F_{0}=10 \mathrm{~N}, a=1 s e T=\pi s. Verifique que se nessas condições o sistema encontra-se em Ressonância.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
Pede-se: encontrar a solução particular x_{p}(t) da EDO
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k x=F(t)
onde F(t) é a função periódica dada (pulso retangular de amplitude F_{0} em -a<t<a e zero no restante do período (-T,T)), usando Séries de Fourier; e verificar se, com os valores numéricos dados, o sistema está em ressonância.
Condições iniciais: x(0)=0,\; \dot x(0)=0. (Essas condições anulam transientes, mas aqui vamos focar na solução particular por série — o transiente homogêneo não muda a verificação de ressonância.)
Como obter os coeficientes A_{0},A_{n},B_{n} da solução particular usando linearidade e comparação de termos harmônicos.
Substituímos as séries em ambos os membros da EDO. Para cada harmônico de frequência \omega_{n}=\dfrac{n\pi}{T} a equação reduz-se (pela linearidade) a uma equação algébrica de coeficientes.
Para o termo constante (média): derivadas nulas, então
Interpretação: cada harmônico do forçamento gera um harmônico na resposta cuja amplitude é o coeficiente do forçamento dividido pelo fator \bigl(k-m\omega_{n}^{2}\bigr). Se esse denominador for zero para algum n, a fórmula falha e caracteriza ressonância.
Passo 5
Avaliação dos termos numéricos e verificação da condição de ressonância.
Frequência natural do sistema (sem amortecimento):
Logo as frequências impostas pelo forçamento são \omega_{n}=1,2,3,\dots rad/s.
A condição de ressonância (sistema não amortecido) é que exista um n tal que \omega_{n}=\omega_{0}. Aqui \omega_{0}=5 e \omega_{5}=5. Portanto temos ressonância para n=5.
Para o harmônico ressonante n=5 a forma da solução particular não é A_{5}\cos(5t)+B_{5}\sin(5t) — quando o denominador zera devemos tentar uma solução particular da forma multiplicada por t. Procedimento (rápido derivado):
Se o forçamento contém a_{5}\cos(5t) e k=m\cdot 5^{2}, toma-se tentativa x_{p}^{(5)}(t)=t\cdot C\sin(5t). Calculando m x''+kx dá 2mC\cdot 5\cos(5t). Igualando ao forçamento a_{5}\cos(5t) obtemos
Observação didática: a soma para n\neq5 é a resposta forçada usual para componentes não ressonantes; o termo x_{p}^{(5)}(t) demonstra que, devido à ressonância, a resposta para aquela componente cresce linearmente no tempo (em ausência de amortecimento), não havendo uma solução periódica limitada para aquela componente.
Sistema em Ressonância: Sim. Pois \omega_{0}=\sqrt{k/m}=5\\ \text{rad/s} e existe n=5 tal que \omega_{5}=n=5\\ \text{rad/s}, o que anula k-m\omega_{5}^{2} e produz o termo ressonante x_{p}^{(5)}(t)=\dfrac{\sin(5)}{10\pi}\,t\sin(5t) (crescimento linear em t).