1. Encontre a solução particular da EDO que representa um sistema massa-mola por meio de Séries de Fourier. A EDO é dada por
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k x=F(t)
com condições iniciais x(t=0)=0, \frac{d x}{d t}(t=0)=0 e F(t) é uma função periódica definida por
\begin{gathered} F(t)=\left\{\begin{array}{c} 0,-T<t<-a \\\ F_{0},-a<t<+a \\\\ 0,+a<t<+T \end{array}\right. \\\ F(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{a_{n} \cos \left(\frac{n \pi}{T} t\right)+b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{T} t\right)\right\} \\\ x_{p}(t)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{A_{n} \cos \left(\frac{n \pi}{T} t\right)+B_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{T} t\right)\right\} \end{gathered}
Considere k=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, m=4 \mathrm{~kg}, F_{0}=10 \mathrm{~N}, a=1 s e T=\pi s. Verifique que se nessas condições o sistema encontra-se em Ressonância.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pede-se: encontrar a solução particular x_{p}(t) da EDO
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k x=F(t)
onde F(t) é a função periódica dada (pulso retangular de amplitude F_{0} em -a<t<a e zero no restante do período (-T,T)), usando Séries de Fourier; e verificar se, com os valores numéricos dados, o sistema está em ressonância.
  • Condições iniciais: x(0)=0,\; \dot x(0)=0. (Essas condições anulam transientes, mas aqui vamos focar na solução particular por série — o transiente homogêneo não muda a verificação de ressonância.)
  • Dados numéricos fornecidos:
k=100\\ \mathrm{N/m},\quad m=4\\ \mathrm{kg},\quad F_{0}=10\\ \mathrm{N},\quad a=1\\ \mathrm{s},\quad T=\pi\\ \mathrm{s}.
  • Foi dada a forma da série de Fourier de F(t):
F(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{a_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi}{T}t\right)+b_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{T}t\right)\right\},
e assumida a forma da série para x_{p}(t):
x_{p}(t)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{A_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi}{T}t\right)+B_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{T}t\right)\right\}.

Passo 2

Explicação de como obter os coeficientes de Fourier de F(t) — fórmulas e por que b_{n}=0.
  • Como F(t) é par (a função vale F_{0} em -a<t<a e é simétrica), os coeficientes das senos são zero:
b_{n}=0\quad\text{para todo }n.
  • Fórmulas padrão para os coeficientes em um período (-T,T):
a_{0}=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}F(t)\,dt,\qquad a_{n}=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}F(t)\cos\!\left(\frac{n\pi}{T}t\right)\,dt.
  • Para a nossa F(t) só existe contribuição no intervalo -a<t<a, logo as integrais reduzem-se a integrar F_{0} nesse intervalo.

Passo 3

Cálculo explícito dos coeficientes a_{0} e a_{n} em termos de F_{0},a,T, e especialização numérica.
  • Calcule a_{0}:
a_{0}=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}F(t)\,dt=\frac{1}{T}\int_{-a}^{a}F_{0}\,dt=\frac{1}{T}\cdot 2aF_{0}.
Logo
\frac{a_{0}}{2}=\frac{aF_{0}}{T}.
Com os valores numéricos a=1,\;F_{0}=10,\;T=\pi obtemos
a_{0}=\frac{2\cdot 1\cdot 10}{\pi}=\frac{20}{\pi},\qquad \frac{a_{0}}{2}=\frac{10}{\pi}.
  • Calcule a_{n} (para n\ge1):
a_{n}=\frac{1}{T}\int_{-a}^{a}F_{0}\cos\!\left(\frac{n\pi}{T}t\right)\,dt =\frac{2F_{0}}{T}\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{n\pi}{T}t\right)\,dt.
Integral elementar:
\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{n\pi}{T}t\right)\,dt =\left[\frac{T}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{T}t\right)\right]_{0}^{a}=\frac{T}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{T}\right).
Portanto
a_{n}=\frac{2F_{0}}{T}\cdot\frac{T}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{T}\right) =\frac{2F_{0}}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{T}\right).
  • Substituindo T=\pi e a=1 simplificamos o argumento do seno:
\frac{n\pi a}{T}=\frac{n\pi\cdot 1}{\pi}=n.
Logo, com os números fornecidos,
a_{n}=\frac{2F_{0}}{n\pi}\sin(n)=\frac{20}{n\pi}\sin(n).
E recordamos b_{n}=0.

Passo 4

Como obter os coeficientes A_{0},A_{n},B_{n} da solução particular usando linearidade e comparação de termos harmônicos.
  • Substituímos as séries em ambos os membros da EDO. Para cada harmônico de frequência \omega_{n}=\dfrac{n\pi}{T} a equação reduz-se (pela linearidade) a uma equação algébrica de coeficientes.
  • Para o termo constante (média): derivadas nulas, então
k\cdot\frac{A_{0}}{2}=\frac{a_{0}}{2}\quad\Rightarrow\quad A_{0}=\frac{a_{0}}{k}.
  • Para n\ge1, note que a derivada segunda de \cos(\omega_{n}t) traz fator -\omega_{n}^{2}, e similar para \sin. Assim para cada n obtemos
\bigl(k-m\omega_{n}^{2}\bigr)A_{n}=a_{n},\qquad \bigl(k-m\omega_{n}^{2}\bigr)B_{n}=b_{n}.
Portanto, para n\ge1,
A_{n}=\frac{a_{n}}{k-m\omega_{n}^{2}},\qquad B_{n}=\frac{b_{n}}{k-m\omega_{n}^{2}}.
  • Interpretação: cada harmônico do forçamento gera um harmônico na resposta cuja amplitude é o coeficiente do forçamento dividido pelo fator \bigl(k-m\omega_{n}^{2}\bigr). Se esse denominador for zero para algum n, a fórmula falha e caracteriza ressonância.

Passo 5

Avaliação dos termos numéricos e verificação da condição de ressonância.
  • Frequência natural do sistema (sem amortecimento):
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{100}{4}}=\sqrt{25}=5\\ \text{rad/s}.
  • Frequências de forçamento (harmônicos):
\omega_{n}=\frac{n\pi}{T}=\frac{n\pi}{\pi}=n\\ \text{rad/s}.
Logo as frequências impostas pelo forçamento são \omega_{n}=1,2,3,\dots rad/s.
  • A condição de ressonância (sistema não amortecido) é que exista um n tal que \omega_{n}=\omega_{0}. Aqui \omega_{0}=5 e \omega_{5}=5. Portanto temos ressonância para n=5.
  • Verificando o denominador para n=5:
k-m\omega_{5}^{2}=100-4\cdot 5^{2}=100-4\cdot25=100-100=0.
Assim a fórmula A_{5}=a_{5}/(k-m\omega_{5}^{2}) é singular — o coeficiente tende a infinito na expressão estacionária usual, indicando ressonância.

Passo 6

Construção da solução particular completa, mostrando o termo ressonante explicitamente (forma correta no caso ressonante).
  • Para n\neq 5 (não ressonantes) a contribuição é
A_{n}=\frac{a_{n}}{k-mn^{2}},\qquad B_{n}=0,
onde usamos \omega_{n}=n e escrevemos k-m\omega_{n}^{2}=k-mn^{2} (aqui as unidades estão compatíveis porque \omega_n está em rad/s).
  • Para o termo constante
A_{0}=\frac{a_{0}}{k}=\frac{20/\pi}{100}=\frac{1}{5\pi}.
  • Para o harmônico ressonante n=5 a forma da solução particular não é A_{5}\cos(5t)+B_{5}\sin(5t) — quando o denominador zera devemos tentar uma solução particular da forma multiplicada por t. Procedimento (rápido derivado):
    • Se o forçamento contém a_{5}\cos(5t) e k=m\cdot 5^{2}, toma-se tentativa x_{p}^{(5)}(t)=t\cdot C\sin(5t). Calculando m x''+kx 2mC\cdot 5\cos(5t). Igualando ao forçamento a_{5}\cos(5t) obtemos
    C=\frac{a_{5}}{2m\cdot 5}.
    • Assim o termo ressonante da solução particular é
    x_{p}^{(5)}(t)=\frac{a_{5}}{2m\cdot 5}\;t\sin(5t).
  • Substituímos a_{5} obtido no Passo 3: a_{5}=\dfrac{20}{5\pi}\sin(5)=\dfrac{4}{\pi}\sin(5). Com m=4 temos
\frac{a_{5}}{2m\cdot 5}=\frac{\dfrac{4}{\pi}\sin(5)}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{4\sin(5)}{40\pi}=\frac{\sin(5)}{10\pi}.
Portanto o termo ressonante explícito é
x_{p}^{(5)}(t)=\frac{\sin(5)}{10\pi}\;t\sin(5t).
(Isto mostra crescimento linear em t da amplitude da resposta — característico de ressonância num sistema não amortecido.)

Passo 7

Escrevendo a solução particular final (com separação clara do termo ressonante e das demais contribuições).
  • Colocando tudo junto:
x_{p}(t)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{\substack{n=1\\\ n\neq 5}}^{\infty}\frac{a_{n}}{k-mn^{2}}\cos(nt)\;+\;x_{p}^{(5)}(t),
onde (usando os valores numéricos)
\frac{A_{0}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a_{0}}{k}=\frac{1}{2}\cdot\frac{20/\pi}{100}=\frac{1}{10\pi},
a_{n}=\frac{20}{n\pi}\sin(n),\qquad x_{p}^{(5)}(t)=\frac{\sin(5)}{10\pi}\;t\sin(5t).
  • Observação didática: a soma para n\neq5 é a resposta forçada usual para componentes não ressonantes; o termo x_{p}^{(5)}(t) demonstra que, devido à ressonância, a resposta para aquela componente cresce linearmente no tempo (em ausência de amortecimento), não havendo uma solução periódica limitada para aquela componente.

Resposta

x_{p}(t)=\frac{1}{10\pi}+\sum_{\substack{n=1\\\ n\neq 5}}^{\infty}\frac{\dfrac{20}{n\pi}\sin(n)}{100-4n^{2}}\cos(nt)\;+\;\frac{\sin(5)}{10\pi}\;t\sin(5t).
Sistema em Ressonância: Sim. Pois \omega_{0}=\sqrt{k/m}=5\\ \text{rad/s} e existe n=5 tal que \omega_{5}=n=5\\ \text{rad/s}, o que anula k-m\omega_{5}^{2} e produz o termo ressonante x_{p}^{(5)}(t)=\dfrac{\sin(5)}{10\pi}\,t\sin(5t) (crescimento linear em t).

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