Para cada uma das funções a seguir verifique se ela é invertível. Em caso afirmativo, determine sua inversa, seu domínio, e sua imagem.
h(x)=\operatorname{sen}(3 x-\pi), x \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{6}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
h(x)=\sin(3x-\pi),\quad x\in\bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{3\pi}{6}\bigr]
é invertível. Caso seja, queremos achar sua inversa h^{-1}, além de identificar o domínio e a imagem de h (e, por consequência, de h^{-1}).

Passo 2

Para estudar a injetividade de h, fazemos a mudança de variável
u=3x-\pi.
Quando x percorre \bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{3\pi}{6}\bigr], temos
u\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=3\cdot\tfrac{\pi}{6}-\pi=-\tfrac{\pi}{2},\qquad u\bigl(\tfrac{3\pi}{6}\bigr)=3\cdot\tfrac{3\pi}{6}-\pi=+\tfrac{\pi}{2}.
No intervalo \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr], a função \sin(u) é contínua e estritamente crescente, logo injetiva. Assim, h é injetiva em seu domínio e, como é contínua, é invertível.

Passo 3

Para achar a imagem de h, basta ver o valor de \sin(u) quando u vai de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}. Como
\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1,\qquad \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
seguimos que
\operatorname{Im}(h)=\bigl[-1,1\bigr].

Passo 4

Para obter a inversa, escrevemos
y=\sin(3x-\pi) \;\Longrightarrow\; \arcsin(y)=3x-\pi \;\Longrightarrow\; x=\frac{\arcsin(y)+\pi}{3}.
Logo,
h^{-1}(y)=\frac{\arcsin(y)+\pi}{3}.
O domínio de h^{-1} é a imagem de h, ou seja \bigl[-1,1\bigr], e a imagem de h^{-1} é o domínio original de h, isto é \bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{3\pi}{6}\bigr].

Resposta

h é invertível em \bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{3\pi}{6}\bigr].
Domínio de h: \bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}\bigr].
Imagem de h: \bigl[-1,1\bigr].
Inversa:
h^{-1}(y)=\frac{\arcsin(y)+\pi}{3},\quad y\in[-1,1],
com imagem de h^{-1} igual a \bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}\bigr].

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