Para cada uma das funções de transferência em malha fechada abaixo, diga quantos polos estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e no eixo imaginário:
T(s)=\frac{s^{2}+s+1}{s^{5}+6 s^{3}+5 s^{2}+8 s+20}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, a partir de
T(s)=\frac{s^{2}+s+1}{s^{5}+6s^{3}+5s^{2}+8s+20}\,,
quantos polos do denominador estão no semiplano esquerdo (LHP), no semiplano direito (RHP) e no eixo imaginário.
Conteúdo: critério de estabilidade de Routh–Hurwitz. Vamos montar a tabela de Routh para
D(s)=s^{5}+0\;s^{4}+6\;s^{3}+5\;s^{2}+8\;s+20

Passo 2

Escrevemos as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes de D(s):
\begin{array}{c|ccc} s^5 & 1 & 6 & 8\\[6pt] s^4 & 0 & 5 & 20 \end{array}
Como o elemento da primeira coluna em s^4 é zero, substituímos provisoriamente por um pequeno \varepsilon>0.]

Passo 3

Calculamos a linha s^3 usando as duas linhas acima:
A=\frac{\varepsilon\cdot6-1\cdot5}{\varepsilon}=6-\frac{5}{\varepsilon}\;(\to -\infty)\,,\quad B=\frac{\varepsilon\cdot8-1\cdot20}{\varepsilon}=8-\frac{20}{\varepsilon}\;(\to -\infty)
Então a tabela fica:
\begin{array}{c|ccc} s^5 & 1 & 6 & 8\\[4pt] s^4 & \varepsilon & 5 & 20\\[4pt] s^3 & A<0 & B<0 & 0 \end{array}
Em seguida a linha s^2 vem de (s^4,s^3):
C=\frac{A\cdot5-\varepsilon\cdot B}{A}\to5>0,\quad D=\frac{A\cdot20-\varepsilon\cdot0}{A}\to20>0
E a linha s^1 de (s^3,s^2):
E=\frac{5\cdot B - A\cdot20}{5}=B-4A=-16<0
Finalmente s^0=20>0.]

Passo 4

Agora lemos a primeira coluna (para \varepsilon\to0^+):
\begin{array}{c} s^5: +1\\\ s^4: +\varepsilon\\\ s^3: -A\\\ s^2: +C\\\ s^1: -E\\\ s^0: +20 \end{array} \quad\Longrightarrow\quad +,\,+,\,-,\,+,\,-,\,+.
Há quatro inversões de sinal (de + para - ou vice-versa). Pelo critério de Routh, isso significa 4 polos em RHP. Como o polinômio é de grau 5 e não há linhas de zeros completos (nenhum polo imaginário puro), restam 1 polo em LHP e 0 no eixo imaginário.

Resposta

Número de polos em LHP: 1
Número de polos em RHP: 4
Número de polos no eixo imaginário: 0

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