Dada a função de transferência abaixo, para uma entrada \boldsymbol{x}(\boldsymbol{t}) do tipo degrau unitário, encontre a saída y(t) e o valor de y(t) quando t \rightarrow \infty.
Y(s)=\frac{500(s+100)}{s^{2}+60 s+500} X(s)

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
Y(s)=\frac{500\,(s+100)}{s^{2}+60\,s+500}\;X(s)
e pede a resposta ao degrau unitário, isto é, X(s)=1/s. Vamos usar duas ferramentas: inverter a transformada de Laplace por frações parciais e aplicar o Teorema do Valor Final para obter y(\infty).

Passo 2

Substituindo X(s)=1/s em Y(s), obtemos
Y(s)=\frac{500\,(s+100)}{s\,(s^{2}+60\,s+500)}\,.

Passo 3

Primeiro, fatoramos o polinômio do segundo grau no denominador:
s^{2}+60\,s+500=(s+10)(s+50)\,,
pois as raízes são -10 e -50.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{500\,(s+100)}{s\,(s+10)(s+50)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+10}+\frac{C}{s+50}\,.
Calculando os coeficientes:
Para s=0:
A=\frac{500\,(0+100)}{(0+10)(0+50)}=\frac{50000}{500}=100.
Para s=-10:
B=\frac{500\,(-10+100)}{(-10)\,(-10+50)} =\frac{45000}{-400}=-112{,}5.
Para s=-50:
C=\frac{500\,(-50+100)}{(-50)\,(-50+10)} =\frac{25000}{2000}=12{,}5.

Passo 5

Agora invertendo a Transformada de Laplace termo a termo, lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t}:
y(t) =100\;\underbrace{1}_{u(t)} -112{,}5\,e^{-10\,t} +12{,}5\,e^{-50\,t}.

Passo 6

Para y(\infty), aplicamos o Teorema do Valor Final:
y(\infty)=\lim_{s\to0}s\,Y(s) =\lim_{s\to0}\frac{500\,(s+100)}{s^{2}+60\,s+500} =\frac{500\cdot100}{500}=100.

Resposta

y(t)=100-112{,}5\,e^{-10t}+12{,}5\,e^{-50t} y(\infty)=100

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