Determine \boldsymbol{y}(\boldsymbol{t}) utilizando a transformada de Laplace.
\ddot{y}(t)+3 \dot{y}(t)+2 y(t)=x(t), sendo x(t)=\mathbb{1}(t), y(0)=0𝟙 e \dot{y}(0)=-2

Passo 1

O enunciado dá uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}(t)+3\dot{y}(t)+2y(t)=x(t),
onde x(t)=\mathbb{1}(t)𝟙 (função degrau unitário), com condições iniciais \;y(0)=0 e \dot{y}(0)=-2.
O método será usar transformada de Laplace, aplicando as fórmulas
\mathcal{L}\{\dot y\}=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{\ddot y\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-\dot y(0),
para obter Y(s) e, em seguida, inverter com frações parciais.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados:
\mathcal{L}\{\ddot y\}+3\mathcal{L}\{\dot y\}+2\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{\mathbb{1}(t)\}𝟙
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot0-(-2)\bigr) +3\bigl(sY(s)-0\bigr) +2Y(s) =\frac{1}{s}.
Isto é,
\bigl(s^2+3s+2\bigr)Y(s)+2=\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(s^2+3s+2\bigr)Y(s)=\frac{1}{s}-2.

Passo 3

Isolando Y(s) e simplificando o numerador:
Y(s) =\frac{\frac1s-2}{(s+1)(s+2)} =\frac{1-2s}{s\,(s+1)(s+2)}.
Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{1-2s}{s\,(s+1)(s+2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}.

Passo 4

Para determinar A,B,C, multiplicamos por s(s+1)(s+2) e comparamos em valores especiais:
  1. s=0: 1-0= A\cdot1\cdot2 \,\Rightarrow\, A=\tfrac12.
  2. s=-1: 1-2(-1)=3= B\cdot(-1)\cdot1 \,\Rightarrow\, B=-3.
  3. s=-2: 1-2(-2)=5= C\cdot(-2)\cdot(-1) \,\Rightarrow\, C=\tfrac52.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
Y(s)=\frac12\frac1{s}-3\frac1{s+1}+\frac52\frac1{s+2} \quad\Longrightarrow\quad y(t)=\frac12-3e^{-t}+\frac52e^{-2t},\quad t\ge0.

Resposta

y(t)=\frac12-3e^{-t}+\frac52e^{-2t},\quad t\ge0.

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