Para cada uma das funções trigonométricas abaixo, determine: (1) O valor máximo, (2) O valor mínimo, e (3) O período de oscilação completo da onda.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- O valor máximo de
. - O valor mínimo de
. - O período completo de oscilação da onda
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- O fator multiplicativo na frente do cosseno é
. - O argumento do cosseno é
(ou seja, o coeficiente multiplicando é ). - Não há deslocamento vertical nem deslocamento horizontal explicítos além desses fatores.
Passo 2
Entendendo a função cosseno básica: a função
tem valores sempre entre
e
. Em notação:
Exemplos simples para fixar a ideia:
Isso significa que qualquer vez que você tenha uma expressão do tipo
, esse “algo” só faz a função variar entre
e
.
Passo 3
Efeito do coeficiente multiplicativo (amplitude): se temos uma função da forma
onde
é um número real, então a função varia entre
e
. Em símbolos:
No nosso caso
(positivo), portanto:
- O valor máximo possível é quando
, dando . - O valor mínimo possível é quando
, dando .
Também podemos escrever onde ocorrem esses extremos em termos de
:
- Máximos ocorrem quando
para , ou seja
- Mínimos ocorrem quando
para , ou seja
Passo 4
Cálculo do período: a função
tem período
, isto é,
para todo
. Se o argumento é
, procuramos o menor valor positivo
tal que
Cancelando
e resolvendo para
obtemos
Em geral, para uma função da forma
o período é
. Aqui
, então o período é
.
Passo 5
Verificação rápida com pontos:
- Em
: (máximo). - Em
: então (mínimo). - Em
: então (volta ao máximo).
Isso confirma que entree há uma oscilação completa, ou seja, o período é .
Passo 6
Dica prática para a prova (resumindo o truque): para funções do tipo
- amplitude =
(maior valor , menor valor ); - período =
; - máximos ocorrem quando o cosseno vale
e mínimos quando vale (resolver o argumento igual a ou ).
Resposta
Máximo:
Mínimo:
Período:
Mínimo:
Período: