Para cada uma das funções trigonométricas abaixo, determine: (1) O valor máximo, (2) O valor mínimo, e (3) O período de oscilação completo da onda.
h(x)=4 \cos (3 x)

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=4\cos(3x)
e pede três coisas:
  1. O valor máximo de h(x).
  2. O valor mínimo de h(x).
  3. O período completo de oscilação da onda h(x).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • O fator multiplicativo na frente do cosseno é 4.
  • O argumento do cosseno é 3x (ou seja, o coeficiente multiplicando x é 3).
  • Não há deslocamento vertical nem deslocamento horizontal explicítos além desses fatores.

Passo 2

Entendendo a função cosseno básica: a função \cos(t) tem valores sempre entre -1 e 1. Em notação:
-1 \le \cos(t) \le 1\quad\text{para todo }t.
Exemplos simples para fixar a ideia:
\cos(0)=1,\qquad \cos\bigl(\pi\bigr)=-1,\qquad \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Isso significa que qualquer vez que você tenha uma expressão do tipo \cos(\text{algo}), esse “algo” só faz a função variar entre -1 e 1.

Passo 3

Efeito do coeficiente multiplicativo (amplitude): se temos uma função da forma
y = A\cos(\cdot),
onde A é um número real, então a função varia entre -|A| e |A|. Em símbolos:
-|A| \le A\cos(\cdot) \le |A|.
No nosso caso A=4 (positivo), portanto:
  • O valor máximo possível é quando \cos(3x)=1, dando h(x)=4\cdot 1=4.
  • O valor mínimo possível é quando \cos(3x)=-1, dando h(x)=4\cdot(-1)=-4.
Também podemos escrever onde ocorrem esses extremos em termos de x:
  • Máximos ocorrem quando 3x = 2k\pi para k\in\mathbb{Z}, ou seja
x = \frac{2k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.
  • Mínimos ocorrem quando 3x = \pi + 2k\pi para k\in\mathbb{Z}, ou seja
x = \frac{(2k+1)\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Cálculo do período: a função \cos(t) tem período 2\pi, isto é, \cos(t+2\pi)=\cos(t) para todo t. Se o argumento é 3x, procuramos o menor valor positivo T tal que
3(x+T) = 3x + 2\pi.
Cancelando 3x e resolvendo para T obtemos
3T = 2\pi \quad\Rightarrow\quad T = \frac{2\pi}{3}.
Em geral, para uma função da forma \cos(Bx) o período é \dfrac{2\pi}{|B|}. Aqui B=3, então o período é \dfrac{2\pi}{3}.

Passo 5

Verificação rápida com pontos:
  • Em x=0: \;h(0)=4\cos(0)=4\cdot 1=4 (máximo).
  • Em x=\dfrac{\pi}{3}: \;3x=\pi então \;h\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=4\cos(\pi)=4\cdot(-1)=-4 (mínimo).
  • Em x=\dfrac{2\pi}{3}: \;3x=2\pi então \;h\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=4\cos(2\pi)=4 (volta ao máximo).
    Isso confirma que entre x=0 e x=\dfrac{2\pi}{3} há uma oscilação completa, ou seja, o período é \dfrac{2\pi}{3}.

Passo 6

Dica prática para a prova (resumindo o truque): para funções do tipo
h(x)=A\cos(Bx+C)+D
  • amplitude = |A| (maior valor D+|A|, menor valor D-|A|);
  • período = \dfrac{2\pi}{|B|};
  • máximos ocorrem quando o cosseno vale 1 e mínimos quando vale -1 (resolver o argumento igual a 2k\pi ou \pi+2k\pi).

Resposta

Máximo: 4
Mínimo: -4
Período: \dfrac{2\pi}{3}

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