Para cada uma das funções trigonométricas abaixo, determine: (1) O valor máximo, (2) O valor mínimo, e (3) O período de oscilação completo da onda.
q(x)=10+5 \cos (x-\pi)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função q(x)=10+5\cos(x-\pi):
  • (1) o valor máximo da função;
  • (2) o valor mínimo da função;
  • (3) o período de oscilação completo da onda.
Informação dada: a expressão explícita da função é q(x)=10+5\cos(x-\pi). Não há outros dados nem imagens.

Passo 2

Entendendo a base: qual é o alcance da função cosseno.
  • A função \cos(t) toma sempre valores no intervalo [-1,1]. Isso vem da definição no círculo unitário: o cosseno é a coordenada x de um ponto na circunferência de raio 1, logo não pode ser menor que -1 nem maior que 1.
  • Em fórmula: para todo t vale -1 \le \cos(t) \le 1.

Passo 3

Como transformações afetam máximo, mínimo e período.
  • Considere uma função do tipo f(x)=A+B\cos(Cx+D).
    • A é um desvio vertical (deslocamento para cima/baixo).
    • B escala a amplitude (liga com a “altura” da oscilação). A amplitude é |B|.
    • C afeta o período; o período é \dfrac{2\pi}{|C|}.
    • D é a fase (deslocamento horizontal), que muda onde as cristas/vales aparecem, mas não muda amplitude nem período.
  • Usando que -1\le\cos(\cdot)\le1, o termo B\cos(Cx+D) varia entre -|B| e |B|. Somando A, a função f varia entre A-|B| e A+|B|. Portanto:
    • valor máximo: A+|B|;
    • valor mínimo: A-|B|;
    • período: \dfrac{2\pi}{|C|}.

Passo 4

Aplicando essas ideias à função dada.
  • Escrevendo q(x) no formato A+B\cos(Cx+D), temos:
    • A=10,
    • B=5,
    • a parte dentro do cosseno é x-\pi, que equivale a 1\cdot x + (-\pi), então C=1 e D=-\pi.
  • Amplitude: |B|=|5|=5.
  • Deslocamento vertical: A=10.

Passo 5

Calcular valor máximo e mínimo usando as fórmulas.
  • Valor máximo: A+|B| = 10 + 5 = 15.
  • Valor mínimo: A-|B| = 10 - 5 = 5.

Passo 6

Calcular o período.
  • Período T=\dfrac{2\pi}{|C|}=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi.
  • Observação: o termo -\pi (fase) desloca a curva para a direita em \pi, mas não altera o período.

Passo 7

Onde ocorrem máximos e mínimos (opcional, para fixar a ideia):
  • Máximos quando \cos(x-\pi)=1, isto é quando x-\pi=2k\pi, k\in\mathbb{Z}. Logo máximos em x=\pi+2k\pi.
  • Mínimos quando \cos(x-\pi)=-1, isto é quando x-\pi=\pi+2k\pi, k\in\mathbb{Z}. Uma forma simples de ver alguns mínimos é x=2k\pi (por exemplo x=0 dá mínimo 5).

Resposta

Máximo: 15
Mínimo: 5
Período: 2\pi

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