Para cada uma das funções trigonométricas abaixo, determine: (1) O valor máximo, (2) O valor mínimo, e (3) O período de oscilação completo da onda.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- (1) o valor máximo da função;
- (2) o valor mínimo da função;
- (3) o período de oscilação completo da onda.
Informação dada: a expressão explícita da função é
. Não há outros dados nem imagens.
Passo 2
Entendendo a base: qual é o alcance da função cosseno.
- A função
toma sempre valores no intervalo . Isso vem da definição no círculo unitário: o cosseno é a coordenada de um ponto na circunferência de raio , logo não pode ser menor que nem maior que . - Em fórmula: para todo
vale .
Passo 3
Como transformações afetam máximo, mínimo e período.
- Considere uma função do tipo
. -
é um desvio vertical (deslocamento para cima/baixo). -
escala a amplitude (liga com a “altura” da oscilação). A amplitude é . -
afeta o período; o período é . -
é a fase (deslocamento horizontal), que muda onde as cristas/vales aparecem, mas não muda amplitude nem período.
-
- Usando que
, o termo varia entre e . Somando , a função varia entre e . Portanto: - valor máximo:
; - valor mínimo:
; - período:
.
- valor máximo:
Passo 4
Aplicando essas ideias à função dada.
- Escrevendo
no formato , temos: -
, -
, - a parte dentro do cosseno é
, que equivale a , então e .
-
- Amplitude:
. - Deslocamento vertical:
.
Passo 5
Calcular valor máximo e mínimo usando as fórmulas.
- Valor máximo:
. - Valor mínimo:
.
Passo 6
Calcular o período.
- Período
. - Observação: o termo
(fase) desloca a curva para a direita em , mas não altera o período.
Passo 7
Onde ocorrem máximos e mínimos (opcional, para fixar a ideia):
- Máximos quando
, isto é quando , . Logo máximos em . - Mínimos quando
, isto é quando , . Uma forma simples de ver alguns mínimos é (por exemplo dá mínimo ).
Resposta
Máximo:
Mínimo:
Período:
Mínimo:
Período: