Para cada uma das funções
a seguir, faça o gráfico correspondente (a mão livre, sem usar computador ou papel milimetrado. Basta assinalar os pontos principais). Especifique o domínio, contra-domínio e conjunto-imagem de cada função:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as funções que temos que tratar. O enunciado pede, para cada função
:
- Fazer o gráfico (à mão livre), assinalando os pontos principais.
- Especificar o domínio, o contra-domínio (codomain) e o conjunto-imagem (range).
As funções são:
No próximo passo eu mostro a técnica geral para esboçar gráficos à mão e, em seguida, trato cada função passo a passo: calculo domínio, contra-domínio presumido e conjunto-imagem, encontro pontos-chave (interceptos, vértice, assimptotas, etc.) e explico como desenhar o esboço à mão.]
Passo 2
Dicas gerais para desenhar à mão (passos práticos que sempre uso):
- Trace dois eixos perpendiculares e marque a origem
. Não precisa escala exata, mas marque unidades iguais nos eixos. - Determine domínio e assimptotas primeiro (isso diz onde a curva existe).
- Ache interceptos com os eixos (pontos onde
ou ). - Ache pontos adicionais fáceis (por exemplo
ou simétricos) para dar forma. - Para parábolas calcule vértice e eixo de simetria; para racionais identifique assíntotas vertical e horizontal; para logaritmos marque
e se puder. - Ao desenhar: trace assíntotas com linha tracejada, marque pontos exatos e então desenhe a curva suave que respeite comportamentos ao infinito (tendências).
Agora aplico essas ideias em cada função.
Passo 3
- Domínio: a expressão é um polinômio, então o domínio é
. Escrevo: . - Contra-domínio: se o enunciado não fixa um codomain, a escolha padrão é
. Então . - Conjunto-imagem (range): para achar a imagem de uma parábola, encontro as raízes e o vértice (porque abre para cima ou para baixo determina mínimo/máximo).
- Faturo o polinômio:
. Logo as raízes (interseções com -eixo) são e . Marque os pontos e . - Coeficiente de
é , portanto a parábola abre para cima e tem mínimo (não máximo). - Vértice: a abscissa do vértice é
. Aqui , , então
Calculo a ordenada do vértice:
Portanto o vértice é
. Marque esse ponto (o mais baixo da parábola).
- Intercepto com o eixo
: . Marque o ponto .
- Conjunto-imagem: como abre para cima e o mínimo é
, temos
- Como desenhar à mão: desenhe o eixo vertical passando por
, marque os pontos . Trace uma curva suave em forma de U passando por esses pontos e simétrica em relação à reta vertical .
Passo 4
- Domínio: é uma função afim (polinômio de grau 1), domínio
. - Contra-domínio: tomo
. - Conjunto-imagem: reta de coeficiente angular não nulo atinge todos os reais, então
. - Pontos principais:
- Intercepto com
: → ponto . - Intercepto com
: resolvo → . Ponto . - Outro ponto fácil:
. Ponto .
- Como desenhar à mão: marque os pontos
e e desenhe a reta que passa por eles. Indique que a reta decresce (coeficiente angular significa inclinação descendo: para avançar 1 em a função cai 2 em ). Não há assimptotas.
Passo 5
- Domínio: denominador não pode ser zero, logo
. Portanto . - Contra-domínio: vou tomar
. - Conjunto-imagem:
nunca é zero porque não tem solução. Assim . - Assimptotas:
- Vertical em
(onde o denominador zera): marque como linha tracejada vertical. - Horizontal em
: quando temos ; marque como assíntota horizontal.
- Pontos fáceis para plotar (peguei valores simples substituindo
):
-
. Ponto . -
. Ponto . -
. Ponto . -
. Ponto .
- Comportamento perto de
:
- Ao aproximar por direita
, pequeno . - Ao aproximar por esquerda
, pequeno .
- Como desenhar à mão: desenhe dois ramos hiperbólicos: um para
no quadrante positivo aproximando-se de quando e indo ao quando ; outro para no lado negativo aproximando-se de quando e indo a quando . Marque as assíntotas tracejadas e e os pontos indicados.
Passo 6
- Domínio: o logaritmo natural exige
. Assim . - Contra-domínio: tomo
. - Conjunto-imagem:
assume todos os valores reais ao variar em , logo . - Pontos-chaves:
-
. Marque . -
. Marque aproximadamente se quiser posicionar . -
. Ponto .
- Assimptota: há uma assimptota vertical em
(a curva desce para quando ). Não há assimptota horizontal; quando , lentamente. - Crescimento e concavidade:
- Derivada
em — portanto a função é crescente em todo o domínio. - Segunda derivada
— portanto é côncava para baixo.
- Como desenhar à mão: marque
e , marque um ponto negativo para (por exemplo ), trace a curva passando por esses pontos, subindo lentamente para a direita e caindo para quando se aproxima de (à direita de apenas).
Passo 7
Aqui estão, compactos, os pontos / linhas que eu marcaria à mão para cada função (isso facilita o rascunho rápido na prova):
- Para
: marque ; eixo de simetria . - Para
: marque e mais para orientar a inclinação. - Para
: marque assíntotas (vertical) e (horizontal); pontos . - Para
: marque ; assíntota vertical .
Passo 8
- Se tiver pouco tempo: para parábola busque as raízes e o vértice; para reta dois pontos bastam; para racionais olhe para zeros do denominador (assimptota vertical) e comportamento em infinito (assimptota horizontal); para logaritmo lembre de
e comportamento em e . - Sempre marque os pontos exatos que você calculou e depois “ligue os pontos” respeitando assíntotas e concavidades — isso ganha muitos pontos em uma correção visual.