Para cada uma das funções y(x) a seguir, faça o gráfico correspondente (a mão livre, sem usar computador ou papel milimetrado. Basta assinalar os pontos principais). Especifique o domínio, contra-domínio e conjunto-imagem de cada função:
\begin{aligned} & y(x)=x^{2}-5 x+6 \\ & y(x)=-2 x+3 \\ & y(x)=\frac{1}{x-2} \\ & y(x)=\ln x \end{aligned}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as funções que temos que tratar. O enunciado pede, para cada função y(x):
  • Fazer o gráfico (à mão livre), assinalando os pontos principais.
  • Especificar o domínio, o contra-domínio (codomain) e o conjunto-imagem (range).
As funções são:
\begin{aligned} & y(x)=x^{2}-5x+6,\\[4pt] & y(x)=-2x+3,\\[4pt] & y(x)=\dfrac{1}{x-2},\\[4pt] & y(x)=\ln x. \end{aligned}
No próximo passo eu mostro a técnica geral para esboçar gráficos à mão e, em seguida, trato cada função passo a passo: calculo domínio, contra-domínio presumido e conjunto-imagem, encontro pontos-chave (interceptos, vértice, assimptotas, etc.) e explico como desenhar o esboço à mão.]

Passo 2

Dicas gerais para desenhar à mão (passos práticos que sempre uso):
  • Trace dois eixos perpendiculares e marque a origem (0,0). Não precisa escala exata, mas marque unidades iguais nos eixos.
  • Determine domínio e assimptotas primeiro (isso diz onde a curva existe).
  • Ache interceptos com os eixos (pontos onde y=0 ou x=0).
  • Ache pontos adicionais fáceis (por exemplo x=1,2 ou simétricos) para dar forma.
  • Para parábolas calcule vértice e eixo de simetria; para racionais identifique assíntotas vertical e horizontal; para logaritmos marque (1,0) e (e,1) se puder.
  • Ao desenhar: trace assíntotas com linha tracejada, marque pontos exatos e então desenhe a curva suave que respeite comportamentos ao infinito (tendências).
    Agora aplico essas ideias em cada função.

Passo 3

  1. Domínio: a expressão é um polinômio, então o domínio é \mathbb{R}. Escrevo: \mathrm{Dom}(y)=\mathbb{R}.
  2. Contra-domínio: se o enunciado não fixa um codomain, a escolha padrão é \mathbb{R}. Então \mathrm{Codom}(y)=\mathbb{R}.
  3. Conjunto-imagem (range): para achar a imagem de uma parábola, encontro as raízes e o vértice (porque abre para cima ou para baixo determina mínimo/máximo).
  • Faturo o polinômio: x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3). Logo as raízes (interseções com x-eixo) são x=2 e x=3. Marque os pontos (2,0) e (3,0).
  • Coeficiente de x^2 é 1>0, portanto a parábola abre para cima e tem mínimo (não máximo).
  • Vértice: a abscissa do vértice é x_v=-\dfrac{b}{2a}. Aqui a=1, b=-5, então
x_v=-\dfrac{-5}{2\cdot 1}=\dfrac{5}{2}=2{,}5.
Calculo a ordenada do vértice:
y(x_v)=(2{,}5)^2-5(2{,}5)+6=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25.
Portanto o vértice é \bigl(2{,}5,\,-\tfrac{1}{4}\bigr). Marque esse ponto (o mais baixo da parábola).
  • Intercepto com o eixo y: y(0)=6. Marque o ponto (0,6).
  1. Conjunto-imagem: como abre para cima e o mínimo é -\tfrac{1}{4}, temos
\mathrm{Im}(y)=\left[-\tfrac{1}{4},\,\infty\right).
  1. Como desenhar à mão: desenhe o eixo vertical passando por y=6, marque os pontos (2,0),(3,0),(2{,}5,-0{,}25),(0,6). Trace uma curva suave em forma de U passando por esses pontos e simétrica em relação à reta vertical x=2{,}5.

Passo 4

  1. Domínio: é uma função afim (polinômio de grau 1), domínio \mathbb{R}.
  2. Contra-domínio: tomo \mathbb{R}.
  3. Conjunto-imagem: reta de coeficiente angular não nulo atinge todos os reais, então \mathrm{Im}(y)=\mathbb{R}.
  4. Pontos principais:
  • Intercepto com y: y(0)=3 → ponto (0,3).
  • Intercepto com x: resolvo 0=-2x+3 x=\tfrac{3}{2}=1{,}5. Ponto (1{,}5,0).
  • Outro ponto fácil: x=1\Rightarrow y=-2(1)+3=1. Ponto (1,1).
  1. Como desenhar à mão: marque os pontos (0,3) e (1{,}5,0) e desenhe a reta que passa por eles. Indique que a reta decresce (coeficiente angular m=-2 significa inclinação descendo: para avançar 1 em x a função cai 2 em y). Não há assimptotas.

Passo 5

  1. Domínio: denominador não pode ser zero, logo x\neq 2. Portanto \mathrm{Dom}(y)=\mathbb{R}\setminus\{2\}.
  2. Contra-domínio: vou tomar \mathbb{R}.
  3. Conjunto-imagem: y nunca é zero porque 1/(x-2)=0 não tem solução. Assim \mathrm{Im}(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  4. Assimptotas:
  • Vertical em x=2 (onde o denominador zera): marque como linha tracejada vertical.
  • Horizontal em y=0: quando x\to\pm\infty temos y\to 0; marque y=0 como assíntota horizontal.
  1. Pontos fáceis para plotar (peguei valores simples substituindo x):
  • x=3\Rightarrow y=\dfrac{1}{1}=1. Ponto (3,1).
  • x=4\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}=0{,}5. Ponto (4,0{,}5).
  • x=1\Rightarrow y=\dfrac{1}{-1}=-1. Ponto (1,-1).
  • x=0\Rightarrow y=\dfrac{1}{-2}=-0{,}5. Ponto (0,-0{,}5).
  1. Comportamento perto de x=2:
  • Ao aproximar por direita x\to 2^{+}, x-2>0 pequeno \Rightarrow y\to +\infty.
  • Ao aproximar por esquerda x\to 2^{-}, x-2<0 pequeno \Rightarrow y\to -\infty.
  1. Como desenhar à mão: desenhe dois ramos hiperbólicos: um para x>2 no quadrante positivo aproximando-se de y=0 quando x\to\infty e indo ao +\infty quando x\to 2^+; outro para x<2 no lado negativo aproximando-se de y=0^- quando x\to -\infty e indo a -\infty quando x\to 2^-. Marque as assíntotas tracejadas x=2 e y=0 e os pontos indicados.

Passo 6

  1. Domínio: o logaritmo natural exige x>0. Assim \mathrm{Dom}(y)=(0,\infty).
  2. Contra-domínio: tomo \mathbb{R}.
  3. Conjunto-imagem: \ln x assume todos os valores reais ao variar x em (0,\infty), logo \mathrm{Im}(y)=\mathbb{R}.
  4. Pontos-chaves:
  • x=1\Rightarrow \ln 1=0. Marque (1,0).
  • x=e\Rightarrow \ln e=1. Marque aproximadamente (2{,}718,1) se quiser posicionar e.
  • x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow \ln\tfrac{1}{2}=-\ln 2\approx-0{,}693. Ponto (0{,}5,-0{,}693).
  1. Assimptota: há uma assimptota vertical em x=0 (a curva desce para -\infty quando x\to 0^{+}). Não há assimptota horizontal; quando x\to\infty, \ln x\to\infty lentamente.
  2. Crescimento e concavidade:
  • Derivada \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}>0 em x>0 — portanto a função é crescente em todo o domínio.
  • Segunda derivada \dfrac{d^2}{dx^2}\ln x=-\dfrac{1}{x^2}<0 — portanto é côncava para baixo.
  1. Como desenhar à mão: marque x=1 e x=e, marque um ponto negativo para x<1 (por exemplo (0{,}5,-0{,}693)), trace a curva passando por esses pontos, subindo lentamente para a direita e caindo para -\infty quando se aproxima de x=0 (à direita de x=0 apenas).

Passo 7

Aqui estão, compactos, os pontos / linhas que eu marcaria à mão para cada função (isso facilita o rascunho rápido na prova):
  • Para y=x^{2}-5x+6: marque (2,0),(3,0),(0,6),(2{,}5,-\tfrac{1}{4}); eixo de simetria x=2{,}5.
  • Para y=-2x+3: marque (0,3),(1{,}5,0) e mais (1,1) para orientar a inclinação.
  • Para y=\dfrac{1}{x-2}: marque assíntotas x=2 (vertical) e y=0 (horizontal); pontos (3,1),(4,0{,}5),(1,-1),(0,-0{,}5).
  • Para y=\ln x: marque (1,0),(e,1),(0{,}5,-0{,}693); assíntota vertical x=0.

Passo 8

  • Se tiver pouco tempo: para parábola busque as raízes e o vértice; para reta dois pontos bastam; para racionais olhe para zeros do denominador (assimptota vertical) e comportamento em infinito (assimptota horizontal); para logaritmo lembre de (1,0) e comportamento em 0^{+} e +\infty.
  • Sempre marque os pontos exatos que você calculou e depois “ligue os pontos” respeitando assíntotas e concavidades — isso ganha muitos pontos em uma correção visual.

Resposta

y(x)=x^{2}-5x+6:\\ \mathrm{Dom}=\mathbb{R},\\ \mathrm{Codom}=\mathbb{R},\\ \mathrm{Im}=\left[-\tfrac{1}{4},\infty\right)
y(x)=-2x+3:\\ \mathrm{Dom}=\mathbb{R},\\ \mathrm{Codom}=\mathbb{R},\\ \mathrm{Im}=\mathbb{R}
y(x)=\dfrac{1}{x-2}:\\ \mathrm{Dom}=\mathbb{R}\setminus\{2\},\\ \mathrm{Codom}=\mathbb{R},\\ \mathrm{Im}=\mathbb{R}\setminus\{0\}
y(x)=\ln x:\\ \mathrm{Dom}=(0,\infty),\\ \mathrm{Codom}=\mathbb{R},\\ \mathrm{Im}=\mathbb{R}

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