Expanda e simplifique:
\begin{aligned} & (x+4)(2 x-1) \\ & (2 x+3)^{2} \\ & (x+1)^{4} \\ & (x+1)^{4}\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: expandir e simplificar as quatro expressões algébricas abaixo (cada expressão deve ser escrita em forma polinomial reduzida):
\begin{aligned} & (x+4)(2 x-1) \\\ & (2 x+3)^{2} \\\ & (x+1)^{4} \\\ & (x+1)^{4}\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2} \end{aligned}
Informações dadas: só as expressões acima. Não há valores numéricos específicos para x; a tarefa é manipular símbolos usando propriedades algébricas.

Passo 2

Conceito que vamos usar primeiro: propriedade distributiva (às vezes chamada de multiplicação por soma). Ela diz que, para quaisquer números ou expressões a,b,c,
a(b+c)=ab+ac.
Aplicando isso a um produto de duas somas (ou binômios) podemos distribuir cada termo do primeiro binómio sobre todo o segundo binómio.
Agora expandimos a primeira expressão usando a distributiva:
(x+4)(2x-1)=x(2x-1)+4(2x-1).
Calcule cada produto:
x(2x-1)=2x^{2}-x, \qquad 4(2x-1)=8x-4.
Somando os termos semelhantes:
2x^{2}-x+8x-4=2x^{2}+7x-4.

Passo 3

Para a segunda expressão, usamos a fórmula do quadrado de um binómio. A fórmula é
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},
onde a e b são quaisquer expressões.
Aqui tome a=2x e b=3. Então
(2x+3)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot(2x)\cdot3+3^{2}.
Calcule cada termo:
(2x)^{2}=4x^{2},\qquad 2\cdot(2x)\cdot3=12x,\qquad 3^{2}=9.
Somando:
(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9.

Passo 4

Agora a terceira expressão (x+1)^{4}. Podemos obter isso elevando ao quadrado duas vezes: primeiro calcule (x+1)^{2} e depois eleve esse resultado ao quadrado.
Primeiro,
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.
Agora elevamos ao quadrado:
(x+1)^{4}=\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)^{2}.
Para expandir o quadrado de uma soma de três termos, use a identidade
(A+B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2AB+2AC+2BC,
com A=x^{2}, B=2x, C=1.
Calcule os termos:
A^{2}=(x^{2})^{2}=x^{4}, \qquad B^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}, \qquad C^{2}=1.
E as duplas:
2AB=2\cdot x^{2}\cdot 2x=4x^{3}, \qquad 2AC=2\cdot x^{2}\cdot 1=2x^{2}, \qquad 2BC=2\cdot 2x\cdot 1=4x.
Somando tudo:
x^{4}+4x^{3}+(4x^{2}+2x^{2})+4x+1=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1.
Observação alternativa rápida: pelos coeficientes binomiais para n=4 (1,4,6,4,1) obtemos o mesmo resultado.

Passo 5

Quarta expressão:
(x+1)^{4}\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2}.
Usamos regras de potências: \bigl(a^{m}\bigr)\bigl(a^{n}\bigr)=a^{m+n}. Aqui é conveniente escrever \left(\dfrac{1}{x+1}\right)^{2}=(x+1)^{-2}. Então
(x+1)^{4}\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2}=(x+1)^{4}\,(x+1)^{-2}=(x+1)^{4-2}=(x+1)^{2},
onde subtraiu-se expoentes porque as bases são iguais.
Importante sobre domínio: a expressão original contém \dfrac{1}{x+1}, então o valor x=-1 não é permitido na expressão original. Após simplificação obtemos um polinômio, mas ele representa a mesma função racional para x\neq -1.
Agora expandimos (x+1)^{2}:
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.

Passo 6

Resumo final (já obtivemos as expansões passo a passo e justificadas):

Resposta

(x+4)(2x-1)=2x^{2}+7x-4
(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9
(x+1)^{4}=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1
(x+1)^{4}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)^{2}=x^{2}+2x+1

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