Expanda e simplifique:
Passo 1
O que o enunciado pede: expandir e simplificar as quatro expressões algébricas abaixo (cada expressão deve ser escrita em forma polinomial reduzida):
Informações dadas: só as expressões acima. Não há valores numéricos específicos para
; a tarefa é manipular símbolos usando propriedades algébricas.
Passo 2
Conceito que vamos usar primeiro: propriedade distributiva (às vezes chamada de multiplicação por soma). Ela diz que, para quaisquer números ou expressões
,
Aplicando isso a um produto de duas somas (ou binômios) podemos distribuir cada termo do primeiro binómio sobre todo o segundo binómio.
Agora expandimos a primeira expressão usando a distributiva:
Calcule cada produto:
Somando os termos semelhantes:
Passo 3
Para a segunda expressão, usamos a fórmula do quadrado de um binómio. A fórmula é
onde
e
são quaisquer expressões.
Aqui tome
e
. Então
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 4
Agora a terceira expressão
. Podemos obter isso elevando ao quadrado duas vezes: primeiro calcule
e depois eleve esse resultado ao quadrado.
Primeiro,
Agora elevamos ao quadrado:
Para expandir o quadrado de uma soma de três termos, use a identidade
com
,
,
.
Calcule os termos:
E as duplas:
Somando tudo:
Observação alternativa rápida: pelos coeficientes binomiais para
(1,4,6,4,1) obtemos o mesmo resultado.
Passo 5
Quarta expressão:
Usamos regras de potências:
. Aqui é conveniente escrever
. Então
onde subtraiu-se expoentes porque as bases são iguais.
Importante sobre domínio: a expressão original contém
, então o valor
não é permitido na expressão original. Após simplificação obtemos um polinômio, mas ele representa a mesma função racional para
.
Agora expandimos
:
Passo 6
Resumo final (já obtivemos as expansões passo a passo e justificadas):