Obtenha as funções inversas das funções listadas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: obter as funções inversas das oito funções listadas. Vou repetir aqui cada função (essas são as informações relevantes fornecidas):
O que preciso entregar: para cada função acima, encontrar explicitamente a sua inversa (quando existir), e indicar as restrições de domínio/contra-domínio necessárias para que a inversa faça sentido.
Passo 2
Regra prática para achar inversa (explicação didática, passo-a-passo):
- Começa-se escrevendo
. - Troca-se os papéis de
e : escreve-se . - Resolve-se essa equação para
em função de ; o resultado é a inversa . - Sempre prestar atenção a domínios: pontos onde a função original não está definida (p.ex. divisão por zero, log de número não positivo) não aparecem na imagem; valores de
que corresponderiam a esses excluídos também devem ser removidos do domínio da inversa.
Vou aplicar esse procedimento a cada função, mostrando as contas passo a passo.
Passo 3
Função (1):
.
- Escrevo
. - Troco
e : . - Isolo
:
- Observações de domínio: a função original é linear e definida para todo
, e atinge todos os reais; assim a inversa também está definida para todo .
Passo 4
Função (2):
.
- Primeiro simplificar a expressão:
. - Substituindo:
- Cancela-se
com , e , sobrando
- Agora encontro a inversa: troco
e :
- Domínio: função definida para todo
.
Passo 5
Função (3):
.
- Troco
e : . - Resolver para
é tirar a raiz cúbica:
- Observações: a cúbica é bijetora
, logo a inversa existe para todos os reais. Não há problema com sinais (a raiz cúbica de número negativo é real).
Passo 6
Função (4):
.
- Troco
e : . - Aplicando logaritmo natural para isolar
:
- Observações de domínio: a função exponencial
tem imagem . Portanto a inversa existe como função real somente para . Assim com domínio .
Passo 7
Função (5):
.
- Começo trocando
e : se eu tivesse trocado prematuramente, mas para seguir o algoritmo corretamente faço:
é equivalente (trocando letras), mas aqui é mais claro: pegue
, troque variáveis
e isole
. Vou isolar
partindo de
.
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Desenvolvendo:
- Coloco os termos com
de um lado:
- Fatore
:
- Finalmente:
- Observações de domínio/contra-domínio:
- A função original tem
(denominador zero). Também note que nunca ocorre (verificação: resolver dá contradição), então a imagem da função é . Portanto a inversa tem domínio e retorna valores conforme apropriado.
- A função original tem
Passo 8
Função (6):
.
- Primeiro fatoro o numerador:
. - Substituindo:
- Para
e é possível simplificar cancelando :
- Atenção às descontinidades: a função original não está definida em
e em . Ao simplificar perdeu-se informação sobre o ponto que é um buraco removível: a expressão simplificada dá um valor finito quando (valendo ), mas esse valor não é realmente atingido pela função original porque em a função é indefinida. Portanto a imagem da função original é igual à imagem da função simplificada exceto que o valor NÃO pertence à imagem (porque só seria obtido por , ponto excluído). - Agora determino a inversa resolvendo
para (aqui, como sempre, troco e no passo final; é equivalente resolver para diretamente):
- Posso simplificar o numerador:
- Então a expressão da inversa é
- Agora as restrições: pela análise anterior, a imagem da função original (que corresponde ao domínio da inversa) é
menos os valores que não ocorrem: -
(essa é uma assíntota horizontal do racional; resolver dá contradição), - e além disso
porque esse valor só seria obtido por que está excluído no original.
-
- Portanto a inversa só existe (no sentido de função real) para
, e retorna valores conforme o domínio original.
Passo 9
Função (7):
.
- Primeiro notar domínio da original: a expressão
exige , logo (no caso real). - Simplificar a expressão usando propriedades de logaritmo:
- Agora troco
e : se trocarmos de forma direta, mas melhor faço o procedimento clássico: a partir de troco e :
- Resolver para
:
- Observações de domínio: a inversa
está definida para todo e produz valores positivos, o que corresponde à condição original .
Passo 10
Função (8):
.
- Simplificar:
. - Troco
e : (após troca), ou melhor: partindo de troco e e isolo . Assim:
- Aplicando logaritmo natural:
- Observações de domínio: como
, a imagem da original é . Portanto a inversa tem domínio .