Obtenha as funções inversas das funções listadas a seguir:
\begin{aligned} & y(x)=5 x+2 \\ & y(x)=x+2+(x+4)(x-4)-x^{2}+16 \\ & y(x)=x^{3} \\ & y(x)=e^{x} \\ & y(x)=\frac{x+3}{x-5} \\ & y(x)=\frac{x^{2}-7 x+12}{(x-3)(x+2)} \\ & y(x)=\ln \frac{1}{x} \\ & y(x)=\left(e^{x}\right)^{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede: obter as funções inversas das oito funções listadas. Vou repetir aqui cada função (essas são as informações relevantes fornecidas):
\begin{aligned} &\text{(1)}\quad y(x)=5x+2,\\\ &\text{(2)}\quad y(x)=x+2+(x+4)(x-4)-x^{2}+16,\\\ &\text{(3)}\quad y(x)=x^{3},\\\ &\text{(4)}\quad y(x)=e^{x},\\\ &\text{(5)}\quad y(x)=\frac{x+3}{x-5},\\\ &\text{(6)}\quad y(x)=\frac{x^{2}-7x+12}{(x-3)(x+2)},\\\ &\text{(7)}\quad y(x)=\ln\frac{1}{x},\\\ &\text{(8)}\quad y(x)=\bigl(e^{x}\bigr)^{2}. \end{aligned}
O que preciso entregar: para cada função acima, encontrar explicitamente a sua inversa (quando existir), e indicar as restrições de domínio/contra-domínio necessárias para que a inversa faça sentido.

Passo 2

Regra prática para achar inversa (explicação didática, passo-a-passo):
  • Começa-se escrevendo \;y=f(x)\;.
  • Troca-se os papéis de x e y: escreve-se \;x=f(y)\;.
  • Resolve-se essa equação para y em função de x; o resultado é a inversa f^{-1}(x).
  • Sempre prestar atenção a domínios: pontos onde a função original não está definida (p.ex. divisão por zero, log de número não positivo) não aparecem na imagem; valores de y que corresponderiam a esses x excluídos também devem ser removidos do domínio da inversa.
    Vou aplicar esse procedimento a cada função, mostrando as contas passo a passo.

Passo 3

Função (1): \;y=5x+2.
  • Escrevo \;y=5x+2\;.
  • Troco x e y: \;x=5y+2\;.
  • Isolo y:
x=5y+2 \quad\Longrightarrow\quad 5y=x-2 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{x-2}{5}.
  • Observações de domínio: a função original é linear e definida para todo \;x\in\mathbb{R}\;, e atinge todos os reais; assim a inversa também está definida para todo \;x\in\mathbb{R}\;.

Passo 4

Função (2): \;y=x+2+(x+4)(x-4)-x^{2}+16.
  • Primeiro simplificar a expressão: (x+4)(x-4)=x^{2}-16.
  • Substituindo:
y = x+2 + (x^{2}-16) - x^{2} + 16.
  • Cancela-se +x^{2} com -x^{2}, e -16+16=0, sobrando
y = x+2.
  • Agora encontro a inversa: troco x e y:
x = y+2 \quad\Longrightarrow\quad y = x-2.
  • Domínio: função definida para todo \mathbb{R}.

Passo 5

Função (3): \;y=x^{3}.
  • Troco x e y: \;x=y^{3}\;.
  • Resolver para y é tirar a raiz cúbica:
y = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}.
  • Observações: a cúbica é bijetora \mathbb{R}\to\mathbb{R}, logo a inversa existe para todos os reais. Não há problema com sinais (a raiz cúbica de número negativo é real).

Passo 6

Função (4): \;y=e^{x}.
  • Troco x e y: \;x=e^{y}\;.
  • Aplicando logaritmo natural para isolar y:
\ln x = y \quad\Longrightarrow\quad y=\ln x.
  • Observações de domínio: a função exponencial e^{x} tem imagem (0,\infty). Portanto a inversa existe como função real somente para x>0. Assim f^{-1}(x)=\ln x com domínio (0,\infty).

Passo 7

Função (5): \;y=\dfrac{x+3}{x-5}.
  • Começo trocando x e y: \;x=\dfrac{y+3}{y-5} se eu tivesse trocado prematuramente, mas para seguir o algoritmo corretamente faço:
x=\frac{y+3}{y-5}
é equivalente (trocando letras), mas aqui é mais claro: pegue \;y=\dfrac{x+3}{x-5}\;, troque variáveis \;x=\dfrac{y+3}{y-5}\; e isole y. Vou isolar y partindo de \;x=\dfrac{y+3}{y-5}\;.
  • Multiplicando ambos os lados por (y-5):
x(y-5) = y+3.
  • Desenvolvendo:
xy - 5x = y + 3.
  • Coloco os termos com y de um lado:
xy - y = 5x + 3.
  • Fatore y:
y(x-1) = 5x + 3.
  • Finalmente:
y = \frac{5x+3}{x-1}.
  • Observações de domínio/contra-domínio:
    • A função original tem \;x\neq 5\; (denominador zero). Também note que \;y\neq 1\; nunca ocorre (verificação: resolver \dfrac{x+3}{x-5}=1 dá contradição), então a imagem da função é \mathbb{R}\setminus\{1\}. Portanto a inversa tem domínio x\neq 1 e retorna valores \neq 5 conforme apropriado.

Passo 8

Função (6): \;y=\dfrac{x^{2}-7x+12}{(x-3)(x+2)}.
  • Primeiro fatoro o numerador: x^{2}-7x+12=(x-3)(x-4).
  • Substituindo:
y=\frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x+2)}.
  • Para x\neq 3 e x\neq -2 é possível simplificar cancelando (x-3):
y=\frac{x-4}{x+2}\quad\text{(para }x\neq 3,\\ x\neq -2\text{)}.
  • Atenção às descontinidades: a função original não está definida em x=3 e em x=-2. Ao simplificar perdeu-se informação sobre o ponto x=3 que é um buraco removível: a expressão simplificada dá um valor finito quando x=3 (valendo -\tfrac{1}{5}), mas esse valor não é realmente atingido pela função original porque em x=3 a função é indefinida. Portanto a imagem da função original é igual à imagem da função simplificada exceto que o valor y=-\tfrac{1}{5} NÃO pertence à imagem (porque só seria obtido por x=3, ponto excluído).
  • Agora determino a inversa resolvendo \;y=\dfrac{x-4}{x+2}\; para x (aqui, como sempre, troco x e y no passo final; é equivalente resolver para x diretamente):
y(x+2)=x-4.
yx + 2y = x - 4.
yx - x = -4 - 2y.
x(y-1) = - (4+2y).
x = -\frac{4+2y}{y-1}.
  • Posso simplificar o numerador:
x = -\frac{2(2+y)}{y-1} = \frac{2(y+2)}{1-y}.
  • Então a expressão da inversa é
f^{-1}(y)=\frac{2(y+2)}{1-y}.
  • Agora as restrições: pela análise anterior, a imagem da função original (que corresponde ao domínio da inversa) é \mathbb{R} menos os valores que não ocorrem:
    • y\neq 1 (essa é uma assíntota horizontal do racional; resolver \frac{x-4}{x+2}=1 dá contradição),
    • e além disso y\neq -\tfrac{1}{5} porque esse valor só seria obtido por x=3 que está excluído no original.
  • Portanto a inversa só existe (no sentido de função real) para y\in\mathbb{R}\setminus\{1,-\tfrac{1}{5}\}, e retorna valores x\neq 3,-2 conforme o domínio original.

Passo 9

Função (7): \;y=\ln\frac{1}{x}.
  • Primeiro notar domínio da original: a expressão \ln\frac{1}{x} exige \frac{1}{x}>0, logo x>0 (no caso real).
  • Simplificar a expressão usando propriedades de logaritmo:
y=\ln\frac{1}{x} = \ln(1) - \ln x = -\ln x.
  • Agora troco x e y: x = -\ln y se trocarmos de forma direta, mas melhor faço o procedimento clássico: a partir de y=-\ln x troco x e y:
x = -\ln y.
  • Resolver para y:
-\ln y = x \quad\Longrightarrow\quad \ln y = -x \quad\Longrightarrow\quad y = e^{-x}.
  • Observações de domínio: a inversa y=e^{-x} está definida para todo x\in\mathbb{R} e produz valores positivos, o que corresponde à condição original x>0.

Passo 10

Função (8): \;y=\bigl(e^{x}\bigr)^{2}.
  • Simplificar: \bigl(e^{x}\bigr)^{2}=e^{2x}.
  • Troco x e y: x=e^{2y} (após troca), ou melhor: partindo de y=e^{2x} troco x e y e isolo y. Assim:
x = e^{2y}.
  • Aplicando logaritmo natural:
\ln x = 2y \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{2}\ln x.
  • Observações de domínio: como e^{2x}>0, a imagem da original é (0,\infty). Portanto a inversa f^{-1}(x)=\tfrac{1}{2}\ln x tem domínio x>0.

Resposta

\displaystyle f_1^{-1}(x)=\frac{x-2}{5}
\displaystyle f_2^{-1}(x)=x-2
\displaystyle f_3^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}
\displaystyle f_4^{-1}(x)=\ln x,\quad \text{domínio }(0,\infty)í
\displaystyle f_5^{-1}(x)=\frac{5x+3}{x-1},\quad \text{domínio }x\neq 1í
\displaystyle f_6^{-1}(x)=\frac{2(x+2)}{1-x},\quad \text{domínio }x\in\mathbb{R}\setminus\{1,-\tfrac{1}{5}\}í
\displaystyle f_7^{-1}(x)=e^{-x},\quad \text{domínio }\mathbb{R}í
\displaystyle f_8^{-1}(x)=\tfrac{1}{2}\ln x,\quad \text{domínio }(0,\infty)í

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