Em cada um dos integrais seguintes, identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente, e calcule-os
;
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o integral
Lista do que foi dado e do que se pede:
- Dado: o integral iterado com ordem de integração
primeiro, depois , depois , com os limites . - Perguntas: (a) identificar o domínio de integração; (b) escrever, se possível, o mesmo integral com uma ordem de integração diferente; (c) calcular o(s) integral(is).
Passo 2
Identificação do domínio de integração (explicação didática):
- A condição interna
junto com e implica as desigualdades simultâneas
- Em palavras: o domínio
é o tetraedro (sólido) no primeiro octante limitado pelos planos coordenados , , e pelo plano . - Geometricamente: é o tetraedro convexo cujos vértices são
, , e .
Passo 3
Conceito usado (mini-aula): porque podemos integrar assim
- Como o integrando é a função constante
, o integral triplo dá o volume do domínio . - Pelo Teorema de Fubini, já que a função é contínua em
, podemos calcular o integral iterado em qualquer ordem, desde que ajustemos corretamente os limites de integração para a ordem escolhida.
Passo 4
Cálculo do integral na ordem dada
(desenvolvimento passo a passo):
- Primeiro integramos em
:
- Agora integramos em
com :
Calculemos esse integral detalhadamente:
Aqui
é constante em relação a
, então
E
Subtraindo:
- Finalmente, integramos em
de a :
Use a substituição simples
(ou calcule diretamente): quando
temos
, quando
temos
, e
. Assim
Logo
Passo 5
Escrever o mesmo integral em ordem diferente e justificar os limites (mini-aula prática)
- Vamos trocar a ordem para
. Para fixar limites quando vem primeiro, observamos a descrição do domínio:
Se escolhermos
como a última variável (integrada por fim), então
varia de
a
. Para um
fixo, as coordenadas
satisfazem
. Assim:
-
(integrada primeiro) varia entre e ? Atenção: estamos escolhendo ordem , então para primeiro, os limites dependem de e . Uma forma organizada é: - para
fixo em , varia de a ; - para
fixo (e fixo), varia de a .
- para
- Portanto o integral na ordem
fica
(Isto é totalmente equivalente ao domínio original, apenas com ordem trocada.)
Passo 6
Cálculo do integral na ordem
(passo a passo)
- Integral interno em
:
- Integral em
com :
Calculemos:
logo
- Agora integramos em
de a :
usando exatamente a mesma integral que fizemos antes para
.
Passo 7
Resumo final e observação prática para a prova
- O domínio é o tetraedro
. - Podemos trocar a ordem de integração desde que ajustemos os limites de acordo com a projeção do domínio nas faces coordenadas; um jeito simples é fixar a última variável e ver a região bidimensional resultante para as duas primeiras.
- O valor numérico do integral (o volume do tetraedro) é