Em cada um dos integrais seguintes, identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente, e calcule-os
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} d z d y d x;

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} dz\,dy\,dx.
Lista do que foi dado e do que se pede:
  • Dado: o integral iterado com ordem de integração z primeiro, depois y, depois x, com os limites \;0\le x\le1,\;0\le y\le1-x,\;0\le z\le1-x-y.
  • Perguntas: (a) identificar o domínio de integração; (b) escrever, se possível, o mesmo integral com uma ordem de integração diferente; (c) calcular o(s) integral(is).

Passo 2

Identificação do domínio de integração (explicação didática):
  • A condição interna \;0\le z\le 1-x-y junto com \;0\le y\le 1-x e \;0\le x\le1 implica as desigualdades simultâneas
x\ge0,\qquad y\ge0,\qquad z\ge0,\qquad x+y+z\le1.
  • Em palavras: o domínio D é o tetraedro (sólido) no primeiro octante limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano \;x+y+z=1.
  • Geometricamente: é o tetraedro convexo cujos vértices são (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).

Passo 3

Conceito usado (mini-aula): porque podemos integrar assim
  • Como o integrando é a função constante 1, o integral triplo \displaystyle\iiint_{D} 1\,dV dá o volume do domínio D.
  • Pelo Teorema de Fubini, já que a função é contínua em D, podemos calcular o integral iterado em qualquer ordem, desde que ajustemos corretamente os limites de integração para a ordem escolhida.

Passo 4

Cálculo do integral na ordem dada \;dz\,dy\,dx (desenvolvimento passo a passo):
  • Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{1-x-y} dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{1-x-y} = 1-x-y.
  • Agora integramos em y com 0\le y\le 1-x:
\int_{0}^{1-x} (1-x-y)\,dy.
Calculemos esse integral detalhadamente:
\int_{0}^{1-x} (1-x-y)\,dy = \int_{0}^{1-x} (1-x)\,dy - \int_{0}^{1-x} y\,dy.
Aqui (1-x) é constante em relação a y, então
\int_{0}^{1-x} (1-x)\,dy = (1-x)\cdot (1-x) = (1-x)^2.
E
\int_{0}^{1-x} y\,dy = \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1-x} = \frac{(1-x)^2}{2}.
Subtraindo:
\int_{0}^{1-x} (1-x-y)\,dy = (1-x)^2 - \frac{(1-x)^2}{2} = \frac{(1-x)^2}{2}.
  • Finalmente, integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \frac{(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-x)^2\,dx.
Use a substituição simples u=1-x (ou calcule diretamente): quando x=0 temos u=1, quando x=1 temos u=0, e du=-dx. Assim
\int_{0}^{1} (1-x)^2\,dx = \int_{1}^{0} u^2(-du) = \int_{0}^{1} u^2\,du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Logo
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-x)^2\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Passo 5

Escrever o mesmo integral em ordem diferente e justificar os limites (mini-aula prática)
  • Vamos trocar a ordem para \;dx\,dy\,dz. Para fixar limites quando x vem primeiro, observamos a descrição do domínio:
D=\{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0,\;x+y+z\le1\}.
Se escolhermos z como a última variável (integrada por fim), então z varia de 0 a 1. Para um z fixo, as coordenadas x,y satisfazem x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le 1-z. Assim:
  • x (integrada primeiro) varia entre 0 e 1-y-z? Atenção: estamos escolhendo ordem dx\,dy\,dz, então para x primeiro, os limites dependem de y e z. Uma forma organizada é:
    • para z fixo em [0,1], y varia de 0 a 1-z;
    • para y fixo (e z fixo), x varia de 0 a 1-y-z.
  • Portanto o integral na ordem \;dx\,dy\,dz fica
\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1-z}\int_{x=0}^{1-y-z} dx\,dy\,dz.
(Isto é totalmente equivalente ao domínio original, apenas com ordem trocada.)

Passo 6

Cálculo do integral na ordem \;dx\,dy\,dz (passo a passo)
  • Integral interno em x:
\int_{0}^{1-y-z} dx = 1-y-z.
  • Integral em y com 0\le y\le 1-z:
\int_{0}^{1-z} (1-y-z)\,dy = \int_{0}^{1-z} (1-z)\,dy - \int_{0}^{1-z} y\,dy.
Calculemos:
\int_{0}^{1-z} (1-z)\,dy = (1-z)(1-z)=(1-z)^2,
\int_{0}^{1-z} y\,dy = \frac{(1-z)^2}{2},
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\int_{0}^{1-z} (1-y-z)\,dy = (1-z)^2 - \frac{(1-z)^2}{2} = \frac{(1-z)^2}{2}.
  • Agora integramos em z de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \frac{(1-z)^2}{2}\,dz = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-z)^2\,dz = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6},
usando exatamente a mesma integral que fizemos antes para (1-x)^2.

Passo 7

Resumo final e observação prática para a prova
  • O domínio é o tetraedro \{(x,y,z)\mid x,y,z\ge0,\;x+y+z\le1\}.
  • Podemos trocar a ordem de integração desde que ajustemos os limites de acordo com a projeção do domínio nas faces coordenadas; um jeito simples é fixar a última variável e ver a região bidimensional resultante para as duas primeiras.
  • O valor numérico do integral (o volume do tetraedro) é
\frac{1}{6}.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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