(3,0) Considere o PVI y^{\prime}=6-3 y+\frac{1}{3} e^{-3 x}, y(\ln 2)=2.
a) Verifique se a equaçīo dada é exata ou nỉo.
b) Resolva-a.

Passo 1

O enunciado dá o problema inicial (PVI) abaixo e faz duas perguntas:
y' = 6 - 3y + \tfrac{1}{3}e^{-3x},\qquad y(\ln 2)=2.
a) Verificar se a equação dada é exata ou não.
b) Resolver o PVI, isto é, encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.
Informações importantes fornecidas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e envolve y' e termos em y e x.
  • A condição inicial é \,y(\ln 2)=2.

Passo 2

Transformando a equação para a forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 para testar exatidão. Primeiro escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx} e colocamos tudo no mesmo lado:
\frac{dy}{dx} - 6 + 3y - \tfrac{1}{3}e^{-3x} = 0.
Multiplicando por dx obtemos
\big(-6 + 3y - \tfrac{1}{3}e^{-3x}\big)\,dx + 1\cdot dy = 0.
Por isso podemos identificar
M(x,y) = -6 + 3y - \tfrac{1}{3}e^{-3x},\qquad N(x,y)=1.

Passo 3

Regra para checar exatidão (aula rápida): uma forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N. Uma condição prática equivalente é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Isto vem do fato de derivadas mistas de \Phi se igualarem ( \Phi_{xy}=\Phi_{yx}) quando \Phi é suficientemente suave.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 3,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 0.
Como \,3 \neq 0, a condição de exatidão falha. Portanto a equação não é exata.

Passo 5

Escolha do método para resolver: como não é exata e a equação tem a forma y' + 3y = 6 + \tfrac{1}{3}e^{-3x}, escolhemos o método do fator integrante (método padrão para equações lineares de primeira ordem). Escrevemos explicitamente a forma padrão:
y' + p(x)\,y = q(x),
onde aqui p(x)=3 e q(x)=6 + \tfrac{1}{3}e^{-3x}.

Passo 6

Fator integrante: \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Propriedade chave (mini-aula): multiplicando toda a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo em derivada do produto \mu(x)\,y, porque
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y' + \mu' y = \mu\big(y' + p y\big).
Isso simplifica a integração.

Passo 7

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=e^{3x}:
e^{3x}y' + 3e^{3x}y = 6e^{3x} + \tfrac{1}{3}e^{3x}e^{-3x}.
Observe que e^{3x}e^{-3x}=1, então o lado direito fica 6e^{3x} + \tfrac{1}{3}. O lado esquerdo é \dfrac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big). Assim
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big) = 6e^{3x} + \tfrac{1}{3}.

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{3x}y = \int \big(6e^{3x} + \tfrac{1}{3}\big)\,dx = \int 6e^{3x}\,dx + \int \tfrac{1}{3}\,dx.
Calculemos as integrais separadamente:
\int 6e^{3x}\,dx = 6\cdot \frac{1}{3}e^{3x} = 2e^{3x}, \qquad \int \tfrac{1}{3}\,dx = \tfrac{1}{3}x.
Logo
e^{3x}y = 2e^{3x} + \tfrac{1}{3}x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 9

Isolando y dividindo por e^{3x}:
y = 2 + \tfrac{1}{3}x\,e^{-3x} + C e^{-3x}.
Podemos reescrever agrupando os termos com e^{-3x}:
y = 2 + \left(\tfrac{1}{3}x + C\right)e^{-3x}.

Passo 10

Aplicando a condição inicial \,y(\ln 2)=2. Substituímos x=\ln 2 na expressão encontrada:
2 = y(\ln 2) = 2 + \left(\tfrac{1}{3}\ln 2 + C\right)e^{-3\ln 2}.
Calcule e^{-3\ln 2}=e^{\ln 2^{-3}}=2^{-3}=\tfrac{1}{8}. Portanto
2 = 2 + \left(\tfrac{1}{3}\ln 2 + C\right)\tfrac{1}{8}.
Subtraindo 2 dos dois lados:
0 = \left(\tfrac{1}{3}\ln 2 + C\right)\tfrac{1}{8}.
Multiplicando por 8:
0 = \tfrac{1}{3}\ln 2 + C \quad\Rightarrow\quad C = -\tfrac{1}{3}\ln 2.

Passo 11

Substituindo C na solução geral:
y = 2 + \left(\tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{3}\ln 2\right)e^{-3x} = 2 + \tfrac{1}{3}\big(x - \ln 2\big)e^{-3x}.
Esta é a solução do PVI. Dá para conferir rapidamente que y(\ln 2)=2 (o termo multiplicado por e^{-3\ln 2}=\tfrac{1}{8} cancela porque C foi escolhido para isso).

Resposta

a) A equação não é exata.
b) \displaystyle y(x)=2+\tfrac{1}{3}\big(x-\ln 2\big)e^{-3x}

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