Considere o PVI
.
a) Verifique se a equaçīo dada é exata ou nỉo.
b) Resolva-a.
a) Verifique se a equaçīo dada é exata ou nỉo.
b) Resolva-a.
Passo 1
O enunciado dá o problema inicial (PVI) abaixo e faz duas perguntas:
a) Verificar se a equação dada é exata ou não.
b) Resolver o PVI, isto é, encontrar a função que satisfaz a equação e a condição inicial.
b) Resolver o PVI, isto é, encontrar a função
Informações importantes fornecidas:
- A equação diferencial é de primeira ordem e envolve
e termos em e . - A condição inicial é
.
Passo 2
Transformando a equação para a forma diferencial
para testar exatidão. Primeiro escrevemos
e colocamos tudo no mesmo lado:
Multiplicando por
obtemos
Por isso podemos identificar
Passo 3
Regra para checar exatidão (aula rápida): uma forma
é exata se existe uma função
tal que
e
. Uma condição prática equivalente é
Isto vem do fato de derivadas mistas de
se igualarem (
) quando
é suficientemente suave.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a condição de exatidão falha. Portanto a equação não é exata.
Passo 5
Escolha do método para resolver: como não é exata e a equação tem a forma
, escolhemos o método do fator integrante (método padrão para equações lineares de primeira ordem). Escrevemos explicitamente a forma padrão:
onde aqui
e
.
Passo 6
Fator integrante:
.
Propriedade chave (mini-aula): multiplicando toda a equação por transformamos o lado esquerdo em derivada do produto
, porque
Propriedade chave (mini-aula): multiplicando toda a equação por
Isso simplifica a integração.
Passo 7
Multiplicando a equação padrão por
:
Observe que
, então o lado direito fica
. O lado esquerdo é
. Assim
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação a
:
Calculemos as integrais separadamente:
Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Isolando
dividindo por
:
Podemos reescrever agrupando os termos com
:
Passo 10
Aplicando a condição inicial
. Substituímos
na expressão encontrada:
Calcule
. Portanto
Subtraindo 2 dos dois lados:
Multiplicando por
:
Passo 11
Substituindo
na solução geral:
Esta é a solução do PVI. Dá para conferir rapidamente que
(o termo multiplicado por
cancela porque
foi escolhido para isso).
Resposta
a) A equação não é exata.
b)
b)