(3,0) Resolva o problema de valor inicial dado por:
\frac{d y}{d x}=1+e^{y-x+5} ; \quad y(1)=5

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
\frac{dy}{dx}=1+e^{y-x+5},\qquad y(1)=5.
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial (ou seja, resolver o problema de valor inicial).

Passo 2

Vamos analisar a equação e escolher um método. Repare que a expressão do lado direito é 1+e^{y-x+5}. Uma observação útil é que a combinação y-x+5 aparece junta no expoente; isso sugere fazer uma mudança de variável que torne a equação mais simples. Vamos definir a nova função
z(x)=y(x)-x+5.
Aqui a ideia é transformar a equação em algo em que apareça apenas z, sem misturar x e y no expoente — isso costuma facilitar muito.

Passo 3

Calculemos a derivada de z. Como z=y-x+5, temos
\frac{dz}{dx}=\frac{dy}{dx}-1.
Agora substituímos \frac{dy}{dx} pela equação dada:
\frac{dz}{dx} = \bigl(1+e^{y-x+5}\bigr)-1 = e^{y-x+5}.
Mas y-x+5 é exatamente z, logo
\frac{dz}{dx}=e^{z}.
Essa equação é separável: podemos escrever
e^{-z}\,dz = dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é direta:
\int e^{-z}\,dz = -e^{-z} + C_1.
No lado direito,
\int dx = x + C_2.
Juntando e absorvendo as constantes numa só C, obtemos a relação
-e^{-z}=x+C,
isto é
e^{-z}=-(x+C).
Observe que o lado esquerdo é positivo, então o lado direito deve ser positivo para os x onde a solução existe (tratamos isso depois).

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial para determinar C. Primeiro calcule z no ponto x=1:
z(1)=y(1)-1+5=5-1+5=9.
Substituindo x=1 e z(1)=9 na relação -e^{-z}=x+C
- e^{-9} = 1 + C.
Logo
C = -1 - e^{-9}.

Passo 6

Voltemos à expressão e^{-z}=-(x+C) e substituamos C:
e^{-z} = -\bigl(x + (-1 - e^{-9})\bigr) = -x +1 + e^{-9} = 1 - x + e^{-9}.
Como e^{-z}>0, a quantidade 1 - x + e^{-9} precisa ser positiva; isso implica que a solução existe enquanto
1 - x + e^{-9} > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x < 1 + e^{-9}.
Agora isolamos z:
z = -\ln\bigl(1 - x + e^{-9}\bigr).

Passo 7

Lembrando que z=y-x+5, resolvemos para y:
y = z + x -5 = x -5 - \ln\bigl(1 - x + e^{-9}\bigr).
É sempre bom conferir com a condição inicial: para x=1 temos y(1)=1-5-\ln\bigl(1-1+e^{-9}\bigr)=-4-\ln(e^{-9})=-4+9=5, que bate com a condição dada. Também, conforme observado, a expressão dentro do log deve ser positiva, então a solução está definida para x<1+e^{-9} (contendo x=1).

Resposta

y(x)=x-5-\ln\bigl(1 - x + e^{-9}\bigr)
Domínio de validade (máximo para a solução obtida): x<1+e^{-9}.

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