Resolva o problema de valor inicial dado por:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial (ou seja, resolver o problema de valor inicial).
Passo 2
Vamos analisar a equação e escolher um método. Repare que a expressão do lado direito é
. Uma observação útil é que a combinação
aparece junta no expoente; isso sugere fazer uma mudança de variável que torne a equação mais simples. Vamos definir a nova função
Aqui a ideia é transformar a equação em algo em que apareça apenas
, sem misturar
e
no expoente — isso costuma facilitar muito.
Passo 3
Calculemos a derivada de
. Como
, temos
Agora substituímos
pela equação dada:
Mas
é exatamente
, logo
Essa equação é separável: podemos escrever
Passo 4
Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é direta:
No lado direito,
Juntando e absorvendo as constantes numa só
, obtemos a relação
isto é
Observe que o lado esquerdo é positivo, então o lado direito deve ser positivo para os
onde a solução existe (tratamos isso depois).
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial para determinar
. Primeiro calcule
no ponto
:
Substituindo
e
na relação
dá
Logo
Passo 6
Voltemos à expressão
e substituamos
:
Como
, a quantidade
precisa ser positiva; isso implica que a solução existe enquanto
Agora isolamos
:
Passo 7
Lembrando que
, resolvemos para
:
É sempre bom conferir com a condição inicial: para
temos
, que bate com a condição dada. Também, conforme observado, a expressão dentro do log deve ser positiva, então a solução está definida para
(contendo
).
Resposta
Domínio de validade (máximo para a solução obtida):
.