Para cada inteiro n>2 mostre que existem n naturais dois a dois distintos, tais que a soma de seus inversos é igual a 1 .

Passo 1

O enunciado pede para cada inteiro n>2 construirmos n números naturais distintos cujos inversos somem exatamente 1.
Conteúdo: frações egípcias e prova por indução. Vamos começar exibindo um caso base e depois mostrar como, a partir de uma solução para k, obter uma para k+1.

Passo 2

Caso base n=3. Uma decomposição clássica é
12 + 13 + 16 = 1
Aqui os três naturais são 2,3,6, todos distintos, e de fato a soma dos inversos vale 1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para algum k>=3 já tenhamos naturais distintos
a1,;a2,;dots,;ak
tais que
1a1+1a2+cdots+1ak=1,
e sem perda de generalidade suponha a1<cdots<ak. Queremos construir k+1 naturais distintos cuja soma dos inversos seja também 1.

Passo 4

Observe que
1ak =1,ak+1,+1,ak(ak+1),
De fato,
1ak+1+1ak(ak+1) =akak(ak+1)+1ak(ak+1) =ak+1ak(ak+1) =1ak
Assim, removendo 1/ak e adicionando os dois termos acima, mantemos a soma total igual a 1 e passamos de k para k+1 frações.

Passo 5

Verificamos que os novos naturais ak+1 e ak(ak+1) são maiores que todos os ai anteriores, logo continuam todos distintos. Assim, por indução, para todo inteiro n>2 existe uma coleção de n naturais distintos cujos inversos somam 1.

Resposta

Existe para cada n>2 uma família de n naturais distintos cuja soma de inversos é 1, conforme a construção por indução acima.

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