Para cada inteiro
mostre que existem
naturais dois a dois distintos, tais que a soma de seus inversos é igual a 1 .
Passo 1
O enunciado pede para cada inteiro
construirmos
números naturais distintos cujos inversos somem exatamente 1.
Conteúdo: frações egípcias e prova por indução. Vamos começar exibindo um caso base e depois mostrar como, a partir de uma solução para , obter uma para
.
Conteúdo: frações egípcias e prova por indução. Vamos começar exibindo um caso base e depois mostrar como, a partir de uma solução para
Passo 2
Caso base
. Uma decomposição clássica é
Aqui os três naturais são
, todos distintos, e de fato a soma dos inversos vale 1.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que para algum
já tenhamos naturais distintos
tais que
e sem perda de generalidade suponha
. Queremos construir
naturais distintos cuja soma dos inversos seja também 1.
Passo 4
Observe que
De fato,
Assim, removendo
e adicionando os dois termos acima, mantemos a soma total igual a 1 e passamos de
para
frações.
Passo 5
Verificamos que os novos naturais
e
são maiores que todos os
anteriores, logo continuam todos distintos. Assim, por indução, para todo inteiro
existe uma coleção de
naturais distintos cujos inversos somam 1.
Resposta
Existe para cada
uma família de
naturais distintos cuja soma de inversos é 1, conforme a construção por indução acima.