Calcule as integrais definidas:
integral0^1 sen^2 pi t cos ^2 pi t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de sin^2(pi t) cos^2(pi t) de 0 a 1. Isso está relacionado ao conteúdo de integrais definidas e trigonometria. Para resolver, vamos utilizar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões envolvendo senos e cossenos ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de duas identidades trigonométricas importantes:
sin^2x = 1 - cos(2x)2
cos^2x = 1 + cos(2x)2
Vamos aplicar essas identidades na nossa integral.

Passo 3

Substituindo sin^2(pi t) e cos^2(pi t) nas identidades, temos:
sin^2(pi t) = 1 - cos(2pi t)2
cos^2(pi t) = 1 + cos(2pi t)2
Agora, multiplicamos essas duas expressões:
sin^2(pi t) cos^2(pi t) = ( 1 - cos(2pi t)2 ) ( 1 + cos(2pi t)2 ) = 1 - cos^2(2pi t)4

Passo 4

Sabemos que 1 - cos^2x = sin^2x , então:
1 - cos^2(2pi t)4 = sin^2(2pi t)4
Agora, usamos novamente a identidade para sin^2x :
sin^2(2pi t) = 1 - cos(4pi t)2
Portanto:
sin^2(2pi t)4 = 1 - cos(4pi t)8

Passo 5

Nossa integral agora ficou assim:
integral0^1 sin^2(pi t) cos^2(pi t) , dt = integral0^1 1 - cos(4pi t)8 , dt = 18 integral0^1 1 , dt - 18 integral0^1 cos(4pi t) , dt

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
18 integral0^1 1 , dt = 18 [t]0^1 = 18 (1 - 0) = 18
18 integral0^1 cos(4pi t) , dt = 18 [ sin(4pi t)4pi ]0^1 = 18 ( sin(4pi)4pi - sin(0)4pi ) = 0
Porque sin(4pi) = 0 e sin(0) = 0 .

Resposta

O valor da integral definida é 18 .

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