Use o método do fator integrante para resolver a seguinte EDO:
y^prime+2 yx=cos xx^2

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de primeira ordem no formato
y' + 2x,y = cos xx^2
Vamos usar o método do fator integrante, que consiste em encontrar uma função mu(x) tal que, ao multiplicar a EDO por mu(x), o lado esquerdo vire a derivada exata de mu(x),y.

Passo 2

No padrão
y' + P(x),y = Q(x),
identificamos
P(x)=2x, Q(x)=cos xx^2

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2x,dx = e^2ln|x| = x^2,
considerando xneq0.

Passo 4

Multiplicando a EDO por x^2, obtemos
x^2 y' + 2x,y = cos x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^2y, isto é,
ddxl(x^2yr) = x^2y' + 2x,y

Passo 5

Logo a equação fica
ddx(x^2y) = cos x
Integramos ambos os lados:
x^2y = integral cos x,dx = sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para terminar, isolamos y:
y = sin x + Cx^2

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = sin x + Cx^2,
com C constante arbitrária.

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