Para cada inteiro
, seja
.
Passo 1
O enunciado dá, para cada inteiro
,
O que vamos responder (i.e., as perguntas que naturalmente este enunciado pede):
- (A) Obter uma relação de recorrência que permita calcular
em função de valores com expoente menor. - (B) A partir dessa recorrência, encontrar fórmulas fechadas para
quando é par e quando é ímpar. - (C) Calcular os casos iniciais necessários e mostrar exemplos numéricos simples para conferir as fórmulas.
Vou agora explicar passo a passo como obter isso, mostrando toda a teoria necessária (integração por partes, manipulação de produtos, definição de double factorial etc.) para que você consiga reproduzir na prova.
Passo 2
Derivando a relação de recorrência por integração por partes.
Primeiro, lembro a fórmula de integração por partes: se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui vamos escrever
e escolher as partes convenientemente:
- tome
. Então (pela regra da cadeia). - tome
. Então uma primitiva é .
Aplicando integração por partes em
obtemos
Agora avaliamos o termo limite: em
tem-se
, e em
tem-se
; portanto o termo de contorno é zero. Logo
Usamos
para separar a integral:
Ou seja,
Passando o termo
para o lado esquerdo:
Finalmente obtemos a fórmula de recorrência fundamental:
Passo 3
Casos iniciais e aplicação da recorrência.
Precisamos de
e
(ou apenas
se começarmos de ímpar para ímpar, e
para pares).
- Calcule
: - Calcule
:
Agora use a recorrência para alguns exemplos (verificação rápida):
- Para
: (Conferir com a identidade .) - Para
: (Também dá para verificar por substituição trigonométrica.)
Esses exemplos mostram que a recorrência funciona e produz valores conhecidos.
Passo 4
Fórmula fechada para
par:
.
Aplicando a recorrência sucessivamente para baixar de
até
:
Como
, obtemos
É comum escrever o produto com double factorials. Definindo
temos
. Além disso há a relação com fatoriais:
Substituindo,
Portanto uma forma muito prática é
Exemplo: para
(i.e.,
) isso dá
, conforme vimos.
Passo 5
Fórmula fechada para
ímpar:
.
Agora aplicamos a recorrência reduzindo até
:
Como
, temos
Usando double factorials:
e
. Assim
Usando as relações com fatoriais
e
, obtemos uma forma em termos de fatoriais:
Portanto
Exemplo: para
(i.e.,
) isso dá
, como conferido.
Passo 6
Observações finais e forma alternativa (Beta/Gamma).
- Uma forma compacta e útil, que aparece em cálculo avançado, é usar a função Beta/Gamma:
Essa expressão contém as fórmulas dos passos anteriores como casos inteiros, mas na prova normalmente basta a recorrência e as fórmulas com double factorial/fatorial mostradas acima.
- Dica de prova: no exame, comece sempre pela integração por partes para obter a recorrência
, escreva os casos base e e então deduza as formas par/ímpar por produto. Use double factorial se quiser uma notação curta, ou transforme em fatoriais se a banca preferir.